Trong thiết kế thí nghiệm kết hợp yếu tố đủ (full factorial experiment), tất cả kết hợp của các mức của các yếu tố đều được thí nghiệm. Nếu ta có 4 yếu tố A, B, C, D, số mức của các yếu tố này lần lượt là `a, b, c, d` thì ta có `abcd` nghiệm thức. Nếu mỗi nghiệm thức này đều thực hiện với `n` lần lặp thì số đơn vị thí nghiệm là `abcdn`.

Để có thể khảo sát chi tiết hơn, ta xét trường hợp thí nghiệm 2 yếu tố A và B với số mức lần lượt là `a` và `b`. Như vậy ta có `ab` nghiệm thức. Nếu mọi nghiệm thức đều được lặp lại `n` lần như nhau thì ta có `abn` đơn vị thí nghiệm. Sau khi thực hiện kết quả của đáp ứng `Y` được biểu diễn trên Bảng 1

Bảng 1 Kết quả của đáp ứng `Y` trong thí nghiệm kết hợp yếu tố đủ

		Yếu tố B						Trung bình
		Mức 1	Mức 2	. . .	Mức `j`	. . .	Mức `b`
Yếu tố A	Mức 1	`y_(111)`	`y_(121)`	. . .	`y_(1j1)`	. . .	`y_(1b1)`	`bar y_(a1)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(11k)`	`y_(12k)`	. . .	`y_(1jk)`	. . .	`y_(1bk)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(11n)`	`y_(12n)`	. . .	`y_(1jn)`	. . .	`y_(1bn)`
	Mức 2	`y_(211)`	`y_(221)`	. . .	`y_(2j1)`	. . .	`y_(2b1)`	`bar y_(a2)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(21k)`	`y_(22k)`	. . .	`y_(2jk)`	. . .	`y_(2bk)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(21n)`	`y_(22n)`	. . .	`y_(2jn)`	. . .	`y_(2bn)`
	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	Mức `i`	`y_(i11)`	`y_(i21)`	. . .	`y_(ij1)`	. . .	`y_(ib1)`	`bar y_(ai)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(i1k)`	`y_(i2k)`	. . .	`y_(ijk)`	. . .	`y_(ibk)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(i1n)`	`y_(i2n)`	. . .	`y_(ijn)`	. . .	`y_(ibn)`
	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	Mức `a`	`y_(a11)`	`y_(a21)`	. . .	`y_(aj1)`	. . .	`y_(ab1)`	`bar y_(aa)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(a1k)`	`y_(a2k)`	. . .	`y_(ajk)`	. . .	`y_(abk)`
		. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		`y_(a1n)`	`y_(a2n)`	. . .	`y_(ajn)`	. . .	`y_(abn)`
Trung bình		`bar y_(b1)`	`bar y_(b2)`	. . .	`bar y_(bj)`	. . .	`bar y_(b b)`

Trong thí nghiệm trên :

• `i` là chỉ số của yếu tố A, `j` là chỉ số của yếu tố B, `k` là chỉ số của lần lặp lại trong một nghiệm thức,
• `y_(ijk)` là đáp ứng `Y` thu được ở lần lặp thứ `k` khi thí nghiệm với mức `i` của yếu tố A và mức `j` của yếu tố B,
• `bar y_(ai)` là trung bình của mức `i` của yếu tố A (gồm `bn` giá trị),
• `bar y_(bj` là trung bình của mức `j` của yếu tố B (gồm `an` giá trị),
• `bar y_(ij)` là trung bình của nghiệm thức `ij` (gồm `n` giá trị),
• `bar y` là trung bình của toàn bộ `abn` giá trị của `Y`.

 

Về nguyên tắc chung, phân tích phương sai cho thí nghiệm kết hợp yếu tố đủ cũng tương tự như thí nghiệm một yếu tố mà ta đã xem xét, cũng gồm các bước:

• tính các tổng bình phương `SS`,
• tính các trung bình bình phương `MS` bằng cách chia `SS` cho độ tự do tương ứng,
• tính các giá trị `F_(oi)=(MS_i)/(MS_E)`,
• so sánh `F_(oi)` với `F_i`*,
• từ đó rút ra kết luận.

Sau đây ta sẽ xem xét chi tiết hơn quá trình này cho trường hợp 2 yếu tố.

Phân tích phương sai cho thí nghiệm kết hợp yếu tố đủ gồm các thành phần sau:

`SS_T=sum_(i=1)^a sum_(j=1)^b sum_(k=1)^n (y_(ijk)-bar y)^2`	(1)
`SS_A=bn sum_(i=1)^a (bar y_(ai)-bar y)^2`	(2)
`SS_B=an sum_(j=1)^b (y_(bj)-bar y)^2`	(3)
`SS_(AB)=n sum_(i=1)^a sum_(j=1)^b (bar y_(ij)-bar y_(ai) -bar y_(bj)+bar y)^2`	(4)
`SS_E=sum_(i=1)^a sum_(j=1)^b sum_(k=1)^n (y_(ijk)-bar y_(ij))^2 `	(5)

trong đó `SS_T` là tổng bình phương chung, `SS_A` là tổng bình phương của yếu tố A, `SS_B` là tổng bình phương của yếu tố B, `SS_(AB)` là tổng bình phương của tương tác giữa A và B, `SS_E` là tổng bình phương của sai số ngẫu nhiên.

Người ta cũng chứng minh được rằng:

`SS_T=SS_A+SS_B+SS_(AB)+SS_E`(6)

Độ tự do của các thành phần này là `df_T=abn-1` ; `df_A=a-1` ; `df_B=b-1` ; `df_(AB)=(a-1)(b-1)` ; `df_E=ab(n-1)`

Để có thể đánh giá tác động của các yếu tố và tương tác, ta xét các trung bình bình phương sau:

`MS_A=(SS_A)/(a-1)`	(7)
`MS_B=(SS_B)/(b-1)`	(8)
`MS_(AB)=(SS_(AB))/((a-1)(b-1))`	(9)
`MS_E=(SS_E)/(ab(n-1))`	(10)

Và các tỷ số :

`F_A=(MS_A)/(MS_E)`	(11)
`F_B=(MS_B)/(MS_E)`	(12)
`F_(AB)=(MS_(AB))/(MS_E)`	(13)

Các phần mềm xử lý thường cho ta kết quả dưới dạng tương tự như Bảng 2.

Bảng 2 Kết quả của phân tích phương sai thí nghiệm hai yếu tố kết hợp đủ

Nguồn biến động	Độ tự do	`SS`	`MS`	`F_o`	`F`*	Giá trị `p`
Yếu tố A	`a-1`	`SS_A`	`MS_A`	`(MS_A)/(MS_E)`	`F_A`*
Yếu tố B	`b-1`	`SS_B`	`MS_B`	`(MS_B)/(MS_E)`	`F_B`*
Tương tác AB	`(a-1)(b-1)`	`SS_(AB)`	`MS_(AB)`	`(MS_(AB))/(MS_E)`	`F_(AB)`*
Sai số	`ab(n-1)`	`SS_E`	`MS_E`
Tổng	`abn-1`	`SS_T`

 

Trong thí nghiệm so sánh khả năng chống lắng của phụ gia lên nước trái cây dạng đục, người ta xác định thời gian lắng của 3 loại phụ gia A, B và C, mỗi loại dùng ở 2 nồng độ là 0,5% và 1%. Mỗi nghiệm thức được thực hiện với 3 lần lặp. Kết quả được trình bày ở Bảng 3.

Bảng 3 Thời gian lắng của các đơn vị thí nghiệm (đơn vị: ngày)

	0,5%			1%
	Lần 1	Lần 2	Lần 3	Lần 1	Lần 2	Lần 3
A	61	67	65	95	88	97
B	84	77	81	103	114	116
C	57	55	61	94	92	88

Kết quả phân tích phương sai cho thí nghiệm này được trình bày ở Bảng 4.

Bảng 4 Kết quả của phân tích phương sai thí nghiệm hai yếu tố kết hợp đủ

Nguồn biến động	Độ tự do	`SS`	`MS`	`F_o`	`F`*
Phu_Gia	2	1525,8	761,9	41,0	3,89
Nong_Do	1	4324,5	4324,5	252,4	4,75
Phu_Gia*Nong_Do	2	17,3	8,7	0,4657	3,89
Sai số	12	223,3	18.5
Tổng	17	6090,9

Dựa vào Bảng 4, ta có các kết luận sau:

• chất phụ gia có tác động đến thời gian lắng,
• nồng độ phụ gia có tác động đến thời gian lắng,
• hai yếu tố này không có tương tác với nhau.

Ghi chú : Bạn có thể tham khảo thêm cách dùng R để phân tích phương sai nhiều yếu tố tại phần "Xử lý dữ liệu đa biến".