Như đã đề cập ở phần trước, `mb(j)` là vectơ cột (hay ma trận cột) mà tất cả các phần tử đều bằng 1.

`mb(j)=[ [1], [1], [vdots], [1] ]`

(27)

Gọi `n` là kích thước của `mb(j)`. Sử dụng các tính chất của phép nhân ma trận ta có:

`mb(j)^T mb(j)=n`(28)

`mb(jj)^T=[ [1,1,cdots,1], [1,1,cdots,1], [vdots,vdots,ddots,vdots], [1,1,cdots,1] ]`

(29)

Gọi `mb(a)` là vectơ cột có kích thước là `n` và phần tử tổng quát là `a_i`. Ta cũng có:

`mb(a)^T mb(j)=mb(j)^T mb(a)=sum_(i=1)^n a_i`

(30)

Vậy `mb(a)^T mb(j)` hay `mb(j)^T mb(a)` là tổng của tất cả các phần tử `a_i` của `mb(a)`.

Gọi `mb(A)` là ma trận có kích thước là `(n xx p)` và phần tử tổng quát là `a_(ij)`. Ta cũng có:

`mb(j)^T mb(A)=[ sum_i a_(i1)\ \ sum_i a_(i2)\ \ cdots\ \ sum_i a_(ip) ]`	(31)
`mb(Aj)=[ [sum_j a_(1j)], [sum_j a_(2j)], [vdots], [sum_j a_(nj) ] ]`	(32)

Vậy `mb(j)^T mb(A)` là một vectơ dòng có `p` phần tử, mỗi phần tử `j` là tổng của `n` phần tử trên cột `j` của `mb(A)`. `mb(Aj)` là một vectơ cột có `n` dòng, phần tử ở dòng `i` là tổng của `p` phần tử trên dòng `i` của `mb(A)`. Cần lưu ý thêm là trong `mb(j)^T mb(A)`, `mb(j)` có kích thước là `n`, nhưng trong `mb(Aj)`, `mb(j)` lại có kích thước là `p`.

 

Ta có thể xem ma trận như một tổ hợp của nhiều vectơ dòng hay vectơ cột hợp thành. Giả sử `mb(a)_i` và `mb(b)_j` là các vectơ cột. Khi ấy ta có thể trình bày các ma trận `mb(A)`, `mb(B)` dưới dạng tổ hợp như sau:

`mb(A)=[ [mb(a)_1^T], [mb(a)_2^T], [vdots], [mb(a)_i^T], [vdots], [mb(a)_m^T] ]\ \ \ \ mb(B)=[mb(b)_1\ \ mb(b)_2\ \ cdots\ \ mb(b)_j\ \ cdots\ \ mb(b)_n ]`

(33)

Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng ma trận ở dạng tổ hợp này rất thuận tiện, làm việc khảo sát tính toán dễ dàng hơn.

Giả sử `mb(A)` là ma trận có 3 dòng và `mb(B)` là ma trận có hai cột, thì ta có thể viết:

    `mb(A)=[ [mb(a)_1^T], [mb(a)_2^T], [mb(a)_3^T] ]`     `mb(B)=[mb(b)_1\ \ mb(b)_2]`

Khi ấy tích của hai ma trận `mb(A)` và `mb(B)` có thể thực hiện và/hay trình bày dưới dạng:

`mb(AB)=[ [mb(a)_1^T mb(b)_1, mb(a)_1^T mb(b)_2], [mb(a)_2^T mb(b)_1, mb(a)_2^T mb(b)_2], [mb(a)_3^T mb(b)_1, mb(a)_3^T mb(b)_2] ]`

(35)

Hay dưới các dạng sau :

`mb(AB)=[ [mb(a)_1^T[mb(b)_1, mb(b)_2] ], [mb(a)_2^T[mb(b)_1, mb(b)_2] ], [mb(a)_3^T[mb(b)_1, mb(b)_2] ] ] = [ [mb(a)_1^T mb(B)], [mb(a)_2^T mb(B)], [mb(a)_3^T mb(B)] ] = [ [mb(a)_1^T], [mb(a)_2^T], [mb(a)_3^T] ] mb(B)`

(36)

Ta cũng lưu ý rằng cột thứ nhất của ma trận ở dạng (36) có thể được viết lại như sau:

`[ [mb(a)_1^T mb(b)_1], [mb(a)_2^T mb(b)_1], [mb(a)_3^T mb(b)_1] ] = [ [mb(a)_1^T], [mb(a)_2^T], [mb(a)_3^T] ] mb(b)_1 = mb(Ab)_1`

(37)

Tương tự cột thứ hai của ma trận có thể viết dưới dạng `mb(Ab)_2`. Như vậy tích `mb(AB)` có thể viết dưới dạng:

`mb(AB)=mb(A) [mb(b)_1\ \ mb(b)_2] = [mb(Ab)_1\ \ mb(Ab)_2]`(38)

Và trong trường hợp tổng quát :

`mb(AB)=mb(A) [mb(b)_1\ \ mb(b)_2\ \ cdots\ \ mb(b)_n] = [mb(Ab)_1\ \ mb(Ab)_2\ \ cdots\ \ mb(Ab)_n]`(39)

 

Xét ma trận `mb(U)` được hình thành từ `n` vectơ `mb(u)_i` và những vectơ này có các đặc điểm sau:

• `mb(u)_i` là các vectơ đơn vị, nghĩa là `norm(mb(u)_i)=1`
• các vectơ này trực giao với nhau đôi một, nghĩa là `mb(u)_i^T mb(u)_j=0` (khi `i!=j`)

Khi đó ma trận `mb(U)` được gọi là ma trận trực giao. Vì các vectơ cột của ma trận này trực giao với nhau đôi một nên:

`mb(U)^T mb(U)=mb(I)`(40)

Từ (40) ta cũng có thể rút ra :

`mb(U) mb(U)^T=mb(I)`(41)

(41) cho ta kết luận rằng các vectơ dòng của `mb(U)` cũng trực giao với nhau đôi một.