Ta chỉ có thể cộng hay trừ hai ma trận `mb(A)` và `mb(B)` khi chúng có cùng kích thước, và kết quả là một ma trận cũng có cùng kích thước với hai ma trận này. Khi cộng hay trừ hai ma trận, ta cộng hay trừ các phần tử đối ứng của hai ma trận ấy.

Gọi `a_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)`, `b_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(B)`, `c_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)+mb(B)`, `d_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)–mb(B)`, thì:

`c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)`(4)

`d_(ij)=a_(ij)-b_(ij)`(5)

Các phép cộng và trừ ma trận có một số tính chất sau :

• Phép cộng ma trận có tính giao hoán giống như phép cộng thông thường:

  `mb(A)+mb(B)=mb(B)+mb(A)`(6)

• Chuyển vị của tổng hay hiệu hai ma trận cũng bằng tổng hay hiệu của chuyển vị hai ma trận ấy:

  `(mb(A)+mb(B))^T=mb(A)^T+mb(B)^T`(7)

  `(mb(A)-mb(B))^T=mb(A)^T-mb(B)^T`(8)

Tích của ma trận `mb(A)`, có phần tử tổng quát là `a_(ij)`, với một số `c`, là ma trận `mb(B)`, có cùng kích thước với `mb(A)`, có phần tử tổng quát là `b_(ij)` với:

`b_(ij)=c a_(ij)`(9)

Thí dụ :

    `3mb(A)=3xx[ [5,7,3,1], [12,-1,6,7], [-4,0,5,3] ] = [ [15,21,9,3], [36,-3,18,21], [-12,0,15,-9] ]`

Phép nhân ma trận với một số cũng có tính giao hoán :

`c mb(A)=mb(A) c`(10)

Ta chỉ có thể nhân ma trận `mb(A)` có kích thước `(d xx c)` với ma trận `mb(B)` có kích thước `(m xx n)` khi số cột của `mb(A)` bằng số dòng của `mb(B)`, nghĩa là `c=m`. Kết quả của phép nhân này là một ma trận có kích thước `(d xx n)`. Gọi `mb(X)` là kết quả của phép nhân ma trận và `x_(ij)` là phần tử tổng quát của `mb(X)`, ta có:

`x_(ij)=sum_(k=1)^c a_(ik)b_(kj)`

(11)

Điều này được minh họa qua Hình 1.

Hình 1 Minh họa về nhân ma trận

Trên Hình 1, ta có :

    `x_(24)=a_(21)b_(14)+a_(22)b_(24)+b_(23)b_(34)+a_(24)b_(44)`

    `x_(24)=14-15-4+12=7`

Ta có một số nhận xét sau :

• Một cách tổng quát, kích thước của `mb(A)`, `mb(B)`, và `mb(AB)` không giống nhau.
• Khi thực hiện được phép nhân `mb(AB)` thì chưa chắc đã thực hiện được phép nhân `mb(BA)`.
• Ngay cả khi thực hiện được phép nhân `mb(BA)` thì thông thường `mb(AB) != mb(BA)` (nghĩa là phép nhân ma trận không có tính giao hoán).
• Khi ta nhân `mb(A)` là ma trận có kích thước `(d xx c)` với ma trận đơn vị `mb(I)` cấp `c` thì:

  `mb(AI)=mb(A)`(12)

Về sự chuyển vị ma trận, ta lưu ý tính chất sau :

`(mb(AB))^T = mb(B)^T mb(A)^T`(13)

Nhìn chung, phép nhân các ma trận vuông được thực hiện tương tự như trường hợp thông thường mà ta đã xem xét. Khi ấy điều kiện là hai ma trận phải cùng cấp. Ở đây ta xét trường hợp đặc biệt là nhân ma trận vuông và ma trận chéo có cùng cấp. Thí dụ `n=3` thì ta có:

    `mb(DA)=[ [d_1,0,0], [0,d_2,0], [0,0,d_3] ]\ [ [a_(11), a_(12), a_(13)], [a_(21), a_(22), a_(23)], [a_(31), a_(32), a_(33)] ] =[ [d_1a_(11), d_1a_(12), d_1a_(13)], [d_2a_(21), d_2a_(22), d_2a_(23)], [d_3a_(31), d_3a_(32), d_3a_(33)] ]`

    `mb(AD)=[ [a_(11), a_(12), a_(13)], [a_(21), a_(22), a_(23)], [a_(31), a_(32), a_(33)] ]\ [ [d_1,0,0], [0,d_2,0], [0,0,d_3] ] = [ [d_1a_(11), d_1a_(12), d_1a_(13)], [d_2a_(21), d_2a_(22), d_2a_(23)], [d_3a_(31), d_3a_(32), d_3a_(33)] ]`

Vậy :

`mb(DA)=mb(AD)`(14)

Trong trường hợp tổng quát với ma trận vuông cấp n, ta có :

`mb(AD)=mb(DA)=[ [d_1a_(11), d_1a_(12),cdots,d_1a_(1j),cdots,d_1a_(1n)], [d_2a_(21), d_2a_(22),cdots,d_2a_(2j),cdots,d_2a_(2n)], [vdots,vdots,ddots,vdots,ddots,vdots], [d_ia_(i1), d_ia_(i2),cdots,d_ia_(ij),cdots,d_ia_(i n)], [vdots,vdots,ddots,vdots,ddots,vdots], [d_na_(n1), d_na_(n2),cdots,d_na_(nj),cdots,d_na_(n n)] ]`

(15)

Đặc biệt hơn nữa nếu ma trận chéo là ma trận đơn vị `mb(I)` thì :

`mb(IA)=mb(AI)=mb(A)`(16)