logo xDuLieu.com

Trang trướcVectơTrang sau

Khái quát về vectơ

 

Như phần trước đã đề cập, vectơ là một dạng đặc biệt của ma trận khi chỉ có một dòng hay một cột. Vì thế vectơ có hầu như mọi tính chất của ma trận. Tuy nhiên, vectơ cũng có một số diểm đặc thù riêng mà ta sẽ xem xét trong phần này.

Trong xử lý dữ liệu, vectơ thường được dùng để biểu diễn một biến trong bảng dữ liệu. Vì thể dạng vectơ phổ biến là vectơ cột. Vì thế trong phần sau, ta sẽ xem xét chủ yếu dạng vectơ này, và thuật ngữ "vectơ" được dùng để thay thế cho thuật ngữ "vectơ cột" để việc trình bày và lĩnh hội được gọn gàng và đơn giản hơn, ngoại trừ các trường hợp ngoại lệ hay cần làm rõ hơn. Ta cũng biết rằng phép chuyển vị sẽ chuyển đổi giữa hai loại với nhau.

Về mặt ký hiệu, ta sử dụng các ký tự in thường và đậm để biểu diễn vectơ như `mb(x)`, `mb(a)` hay `mb(b)`.

Số phần tử của một vectơ được gọi là cỡ hay kích thước của vectơ.

Một vectơ có tất cả các số hạng đều bằng 1 được ký hiệu là `mb(j)`.

`mb(j)=[ [1], [1], [vdots], [1] ]`(18)

Các phép toán cơ bản trên vectơ

 

Hầu như tất cả các phép tính trên ma trận như cộng, trừ, nhân đều có thể áp dụng cho vectơ. Cách thực hiện các phép toán này cũng tương tự như trường hợp của ma trận. Ngoài ra ta xem xét thêm một số điểm riêng sau.

Xét hai vectơ `mb(a)` và `mb(b)` có cùng cỡ là `n`. Như vậy `mb(b)^T mb(a)` là một số (hay số vô hướng). Vì vậy tích này còn được gọi là tích vô hướng. Nếu ta gọi phần tử tổng quát của `mb(a)` là `a_i` và phần tử tổng quát của `mb(b)` là `b_i` thì:

`mb(b)^T mb(a)=sum_(i=1)^n a_ib_i`(19)

Như vậy, ta cũng có :

`mb(b)^T mb(a)= mb(a)^T mb(b) = sum_(i=1)^n a_ib_i`(20)

Mặt khác :

`mb(a)^T mb(a) = sum_(i=1)^n a_i^2`(21)

Căn số của (21) là chiều dài hay mô đun của vectơ `mb(a)`, ký hiệu là `norm(mb(a)`.

`norm(mb(a)) = sqrt(mb(a)^T mb(a)) = sqrt(sum_(i=1)^n a_i^2)`(22)

Từ đó ta có :

  • Nếu `mb(a)^T mb(a)=1` (hay `norm(mb(a))=1`) thì `mb(a)` được gọi là vectơ đơn vị hay chuẩn (normalized hay standardized).
  • Gọi `mb(b)` là một vectơ bất kỳ thì `mb(b)/norm(mb(b))` là vectơ đơn vị hay chuẩn.

Tương quan giữa hai vectơ

 

Người ta chứng minh được rằng :

`mb(a)^T mb(b)=mb(b)^T mb(a)=norm(mb(a))\ norm(mb(b)) cos theta`(23)

trong đó `theta` là "góc" hợp bới hai vectơ `mb(a)` và `mb(b)`.

Vậy :

`cos theta = (mb(a)^T mb(b)) / (norm(mb(a)) norm(mb(b))) = (sum a_ib_i)/(sqrt(sum a_i^2) sqrt(sum b_i^2))`(24)

Người ta cũng chứng minh được rằng `cos theta` cũng chính là hệ số tương quan giữa hai biến `mb(a)` và `mb(b)`.

Nếu :

`mb(a)^T mb(b)=mb(b)^T mb(a)=0`(23)

thì `mb(a)` và `mb(b)` được gọi là trực giao (orthogonal) nhau.

Nếu ta "chiếu" `mb(a)` lên `mb(b)` thì ta thu được một vectơ, ký hiệu `mb(a)_(mb(b))` và chiều dài của vectơ này được xác định theo phương trình:

`norm(mb(a)_(mb(b)))=norm(mb(a)) cos theta = (mb(a)^T mb(b)) / norm(mb(b)) `(26)


Trang trướcVề đầu chươngTrang sau


Trang web này được cập nhật lần cuối ngày 28/11/2018