Ma trận là một hữu thể toán học (như điểm, đường thẳng, số thực, góc, ...) được thể hiện dưới dạng một bảng gồm `d` dòng và `c` cột như sau:

`mb(X)=[ [x_(11), x_(12), cdots, x_(1j), cdots, x_(1c)], [x_(21), x_(22), cdots, x_(2j), cdots, x_(2c)], [vdots, vdots, ddots, vdots, ddots, vdots], [x_(i1), x_(i2), cdots, x_(ij), cdots, x_(ic)], [vdots, vdots, ddots, vdots, ddots, vdots], [x_(d1), x_(d2), cdots, x_(dj), cdots, x_(dc)] ]`

(1)

Ma trận được ký hiệu bằng chữ in hoa như `mb(X)`. (`d xx c`) được gọi là kích thước hay cỡ (dimension hay size) của ma trận. `x_(ij)` được gọi là phần tử tổng quát của ma trận `X` trong đó `i` là chỉ số dòng, `j` là chỉ số cột.

Thí dụ ta có ma trận `A(3xx4)` sau :

    `mb(A)=[ [5,7,3,1], [12,-1,6,7], [-4,0,5,-3] ] `

trong đó `a_(23)=6` ; `a_(14)=1` ; `a_(31)=-4` ; ...

Ma trận có số dòng bằng số cột `d=c`, được gọi là ma trận vuông; ma trận có `c=1` được gọi là ma trận cột hay vectơ cột ; ma trận có `d=1` được goi là ma trận dòng hay vectơ dòng.

Xét hai ma trận, `mb(A)` có phần tử tổng quát là `a_(ij)`, `mb(B)` có phần tử tổng quát là `b_(ij)`. Hai ma trận này được gọi là bằng nhau khi:

• chúng có kích thước giống nhau,
• `a_(ij)=b_(ij)` với mọi `i, j`.

Một ma trận mà tất cả mọi phần tử đều bằng không được ký hiệu là ma trận `mb(0)`.

    `mb(0)=[ [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0] ]`

 

Xét ma trận `mb(X)` có phần tử tổng quát là `x_(ij)`. Ma trận chuyển vị của `mb(X)`, được ký hiệu là `mb(X)^T` có phần tử tổng quát là `y_(ij)` với:

`y_(ij)=x_(ji)` với mọi `i,j`

(2)

Như vậy :

• Cột của `mb(X)` chuyển thành dòng của `mb(X)^T` và ngược lại như thí dụ sau:

  `mb(X)=[ [5,7,3,1], [12,-1,6,7], [-4,0,5,-3] ]\ \ \ rArr\ \ \ mb(X)^T = [ [5,12,-4], [7,-1,0], [3,6,5], [1,7,-3] ]`

• Nếu kích thước của `mb(X)` là (`mxxn`) thì kích thước của `mb(X)^T` là (`nxxm`).
• Ma trận cột (hay vectơ cột) chuyển thành ma trận dòng (hay vectơ dòng) và ngược lại.

Trong một số tài liệu `mb(X)^T` còn được ký hiệu là `mb(X)`'

 

Như đã trình bày ở trên, ma trận là vuông khi có số cột bằng số dòng (ký hiệu là `n`) và được gọi là ma trận vuông cấp `n` (hay vắn tắt hơn: ma trận cấp `n`). Thí dụ ta có ma trận vuông `mb(A)` cấp 4 sau:

    `mb(A) = [ [5,2,-4,7], [7,-3,0,2], [3,6,5,-9], [-1,7,-3,4] ]`

Xét ma trận vuông `mb(A)` có phần tử tổng quát là `a_(ij)`. Ta gọi đường chéo (hay đường chéo chính) của ma trận `mb(A)` là tập hợp của các phần tử `a_(ii)`. Còn đường chéo phụ là tập hợp các phần tử `a_(i,n+1-i)`. Trong thí dụ trên, đường chéo chính của `mb(A)` gồm các phần tử 5, -3, 5, 4, còn đường chéo phụ gồm các phần tử 7, 0, 6, - 1.

Nếu ma trận vuông `mb(A)` có tính chất sau:

`mb(A)=mb(A)^T`(3)

thì ma trận `mb(A)` được gọi là đối xứng. Thí dụ:

    `mb(A)= [ [5,7,-4,12], [7,-1,6,7], [-4,6,8,-3], [12,7,-3,2] ]`

Nếu tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì ta có ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Thí dụ:

    `mb(D) = [ [8,0,0,0], [0,2,0,0], [0,0,-3,0], [0,0,0,7] ]`

Để đơn giản hơn, ta có thể viết :   `mb(D)=diag[8,2,- 3,7]`

Một ma trận chéo có thể được tạo ra từ một ma trận `mb(A)` bất kỳ bằng các chỉ giữ lại các phần tử trên đường chéo chính, còn cho tất cả các phần tử khác bằng 0. Ma trận chéo tạo thành được ký hiệu là `diag(mb(A))`. Thí dụ:

    `diag(mb(A))=diag[ [5,7,4,-1], [2,-1,6,7], [3,9,8,-3], [8,4,1,2] ] = [ [5,0,0,0], [0,-1,0,0], [0,0,8,0], [0,0,0,2] ] `

Nếu ma trận chéo có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 thì được gọi là ma trận đơn vị (identity), ký hiệu là `mb(I)`. Thí dụ ma trận đơn vị cấp 4:

    `mb(I) = [ [1,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,1,0], [0,0,0,1] ] `

Nếu trong ma trận vuông, tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng không, ta có ma trận tam giác trên. Tương tự nếu tất cả các phần tử bên trên đường chéo chính bằng 0, ta có ma trận tam giác dưới. Trong thí dụ dưới đây, `mb(B)` là ma trận tam giác trên, `mb(C)` là ma trận tam giác dưới.

    `mb(B) = [ [8,5,1,-2], [0,2,6,5], [0,0,-3,4], [0,0,0,7] ]\ \ \ \ \ mb(C) = [ [8,0,0,0], [1,2,0,0], [6,5,-3,0], [-4,9,8,7] ]`

Một ma trận vuông mà tất cả các phần tử đều bằng 1 được ký hiệu là `mb(J)`.

    `mb(J) = [ [1,1,1,1], [1,1,1,1], [1,1,1,1], [1,1,1,1] ]`