Xét ma trận vuông `mb(A)` cấp `n`. Định thức của `mb(A)`, ký hiệu là `det(mb(A))` hay `|mb(A)|`, là một số vô hướng được xác định bằng công thức:

`det(mb(A))=|mb(A)|=sum_(j=1)^n (-1)^(i+j) a_(ij) |mb(A)_(ij)|`

(43)

trong đó `a_(ij)` là một số hạng của `mb(A)`, `mb(A)_(ij)` là ma trận cấp `n-1` thu được bằng cách loại bỏ dòng `i` và cột `j` khỏi `mb(A)`.

Định thức xác định theo công thức (43) được gọi là khai triển theo dòng `i`. Điều ta cần lưu ý là giá trị của định thức là như nhau với mọi giá trị của `i`. Ta cũng có thể tính định thức bằng cách khai triển theo cột `j`, nghĩa là:

`det(mb(A))=|mb(A)|=sum_(i=1)^n (-1)^(i+j) a_(ij) |mb(A)_(ij)|`

(44)

Giá trị của định thức cũng không phụ thuộc vào giá trị của `j`. Ngoài ra, giá trị định thức cũng không phụ thuộc vào cách khai triển theo dòng hay theo cột.

Từ các công thức (43) và (44), người ta định nghĩa phần bù đại số (cofactor) của số hạng `a_(ij)`, được ký hiệu là `B_(ij)`, bằng công thức sau:

`B_(ij)=(-1)^(i+j) det(mb(A)_(ij))`(45)

Đại lượng này khá thông dụng trong các tính toán về ma trận, đặc biệt là ma trận vuông, như tính ma trận đảo, hạng của ma trận.

Qua các công thức (43) và (44), ta thấy rằng để tính định thức của ma trận cấp `n`, ta phải tính định thức của ma trận cấp `n-1`; để tính định thức của ma trận cấp `n-1`, ta phải tính định thức của ma trận cấp `n-2`, ... Vậy ta hãy bắt đầu với ma trận cấp 2. Khi tính định thức bằng cách khai triển theo dòng 1, ta có:

Với ma trận cấp 3, giả sử ta tính định thức bằng cách khai triển theo cột 2, ta có:

Dựa vào kết quả tính định thức của ma trận cấp hai bên trên, ta có:

Đổi với định thức của các ma trận cấp 4 trở lên, quá trình tính toán trở nên rất phức tạp. Khi ấy ta thường sử dụng các phần mềm chuyên dùng để tính toán.

 

Sau đây là một số tính chất của định thức.

• Nếu `mb(D)` là ma trận chéo cấp `n`, nghĩa là `mb(D)=diag[d_1,d_2,..,d_n]`, thì định thức của `mb(D)` là:

  `det(mb(D))=|mb(D)|=d_1 d_2 ... d_n`(48)

• Vậy định thức của ma trận đơn vị `mb(I)` là:

  `det(mb(I))=|mb(I)|=1 xx 1 xx ... xx 1=1`(49)

• Nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của ma trận chéo cấp n đều bằng c thì:

  `det(mb(D))=|mb(D)|=c xx c xx ... xx c=c^n`(50)

• Nếu `mb(A)` là ma trận vuông cấp n thì:

  `det(mb(A))^T=det(mb(A))`(51)

• Nếu `mb(A)` và `mb(B)` là hai ma trận vuông có cùng cấp thì:

  `det(mb(AB))=det(mb(A)) det(mb(B))` (52)

• Dựa vào tính chất của phép nhân ma trận `mb(A)` với một số `c` thì:

  `det(c mb(A))=c^n det(mb(A))`(53)

• Nếu chúng ta có thể phân hoạch ma trận A về dạng

      `mb(A)=[ [mb(A)_(11),0], [0,mb(A)_(22)] ] `

  thì :

  `det(mb(A))=det(mb(A)_(11))\ det(mb(A)_(22))`(54)