xDuLieu ⮞Ma trận ⮞Sự phân hoạch ma trận

Sự phân hoạch ma trận

Trong phần trước, ta biết rằng ma trận có thể xem như tổ hợp của một số vectơ cột hay vectơ dòng. Ta có thể phát triển sự tổ hợp này xa hơn nữa bằng cách xem ma trận như tổ hợp của một số ma trận con. Trong một số trường hợp, việc phân hoạch này sẽ làm quá trình khảo sát thuận tiện hơn. Thí dụ ta có thể chia ma trận làm bốn ma trận con như sau:

trong đó :

  `mb(A)_(11)=[ [3,4,-1], [2,6,5], [-9,1,7] ]\ \ \ \ mb(A)_(12)=[ [7,6], [-4,9], [2,8] ]\ \ \ \ mb(A)_21=[ [8,3,4], [5,-7,6] ]\ \ \ \ mb(A)_22=[ [6,-2], [3,4] ]`

Nếu hai ma trận `mb(A)` và `mb(B)` có kích thước phù hợp và chúng được phân hoạch thành các ma trận con có kích thước phù hợp, thì ta có thể nhân chúng theo quy tắc tương tự như ta đã khảo sát. Thí dụ:

`mb(AB)=[ [mb(A)_(11), mb(A)_(12)], [mb(A)_(21), mb(A)_(22)] ] [ [mb(B)_(11), mb(B)_(12)], [mb(B)_(21), mb(B)_(22)] ] = [ [mb(A)_(11) mb(B)_(11) + mb(A)_(12) mb(B)_(21), mb(A)_(11) mb(B)_(12) + mb(A)_(12) mb(B)_(22)], [mb(A)_(21) mb(B)_(11) + mb(A)_(22) mb(B)_(21), mb(A)_(21) mb(B)_(12) + mb(A)_(22) mb(B)_(22)] ]`

(40)

Phép nhân ma trận với vectơ cũng có thể thực hiện ở dạng phân hoạch như thí dụ sau:

`mb(Ab)=[mb(A)_1\ \ mb(A)_2\ \ mb(A)_3 ]\ [ [mb(b)_1], [mb(b)_2], [mb(b)_3] ] = mb(A)_1 mb(b)_1 + mb(A)_2 mb(b)_2 + mb(A)_3 mb(b)_3`

(41)

Ta có thể mở rộng sự phân hoạch ma trận `mb(A)` thành các vectơ cột `mb(a)_i` để nhân với các số hạng `b_i` của vectơ `mb(b)`:

`mb(Ab)=[ mb(a)_1\ \ mb(a)_2\ \ cdots\ \ mb(a)_n] [ [b_1], [b_2], [vdots], [b_n] ] = b_1mb(a)_1 + b_2mb(a)_2 + cdots + b_nmb(a)_n`

(42)

Với dạng (42) ta có thể xem `mb(Ab)` như một tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột `mb(a)_i` của ma trận `mb(A)` với các hệ số là các thành phần `b_i` của vectơ `mb(b)`. Khi đó, ta có thể tính toán tích `mb(Ab)` dễ dàng hơn. Ta xem xét thí dụ sau:

    `mb(Ab)=[ [2,5,-4,1], [4,3,0,5], [-1,6,9,2] ] [ [3], [5], [-2], [1] ] = 3[ [2], [4], [-1] ] + 5[ [5], [3], [6] ] - 2[ [-4], [0], [9] ] + 1[ [1], [5], [2] ] = [ [40], [32], [11] ]`

Lưu ý :

Khi chuyển vị ma trận ở dạng phân hoạch, ta cần lưu ý là có sự sắp xếp lại các ma trận con. Ta xét trường hợp sau:

`mb(A)^T=[ [mb(A)_(11), mb(A)_(12), mb(A)_(13)], [mb(A)_(21), mb(A)_(22), mb(A)_(23)] ]^T = [ [mb(A)_(11)^T, mb(A)_(21)^T], [mb(A)_(12)^T, mb(A)_(22)^T], [mb(A)_(13)^T, mb(A)_(23)^T] ]`

(43)