Xét tập hợp gồm `N` phần tử, trong đó có `m` phần tử có tính chất A. Nếu ta lấy ra `n` phần tử (không hoàn trả lại), thì xác suất để có `x` phần tử có tính chất A được tính như sau:

`p(x)=P(X=x)=(((m),(x))((N-m),(n-x)))/(((N),(n)))=((m!)/(x!(m-x)!) ((N-m)!)/ ((n-x)! (N-m-n+x)!))/((N!)/((n!(N-n!)))`

(10)

Trong đó `x` nằm trong khoảng `max(0,n+m-N)` và `min(m,n)`.

Vậy ta thấy phương pháp lấy mẫu là khác biệt cơ bản của phân phối nhị thức (có hoàn trả lại) và phân phối siêu bội (không hoàn trả lại).

Thí dụ 1 : Một lô hàng có 8 sản phẩm của công ty A và 12 sản phẩm của các công ty khác. Nếu ta lấy ra 8 sản phẩm (không hoàn lại), thì xác suất để có 3 sản phẩm của công ty A là bao nhiêu ?

Áp dụng phân phối siêu bội với   `N=20` ;   `m=8` ;   `n=8` ;   `x=3`. Ta có:

  `((m),(x))=((8),(3))=(8!)/(3!xx5!)=56`

  `((N-m),(n-x))=((12),(5))=(12!)/(5!xx7!)=792`

  `((N),(n))=((20),(8))=(20!)/(8!xx12!)=125.970`

Vậy :   `p(3)=P(X=3)=(56xx792)/(125.970)=0,3521`

Ghi chú : Khi số phần tử `n` của mẫu nhỏ so với số phần tử `N` của tổng thể, phân phối siêu bội xấp xỉ như phân phối nhị thức với `p=m//N`. Nói cách khác, trong trường hợp số phần tử của mẫu nhỏ hơn nhiều so với số phần tử của tổng thể, việc lấy mẫu có hoàn trả lại hay không chỉ ảnh hưởng rất ít đến giá trị của xác suất.

 

Xét một tổng thể mà tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `p`. Lấy một mẫu gồm `n` phần tử từ tổng thể này (có hoàn trả). Theo quy luật số đông thì trong mẫu này sẽ có `lambda` phần tử có tính chất A (`lambda=np`).

Xác suất để trong `n` phần tử này có `x` phần tử có tính chất A là :

`p(x)=P(X=x)=(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)`

(11)

Phân phối này được gọi là phân phối Poisson, áp dụng rất phổ biến trong trường hợp `p` có giá trị nhỏ (các sự kiện hiếm gặp) và `n` có giá trị lớn. Ta cũng có thể dùng phân phối Poisson để ước lượng cho phân phối nhị thức khi  `np< 5`  hay  `n(1-p)< 5`.

Thí dụ : Tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu của công ty C là 2%. Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm của công ty này (có hoàn trả). Tính xác suất để có 5 sản phẩm không đạt yêu cầu.

Theo quy luật số đông thì số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 200 sản phẩm này là :

    `lambda=np=200xx0,02=4`

Áp dụng phân phối Poisson cho trường hợp này, ta có :

    `P(X=5)=(e^(-4)xx4^5)/(5!)=0,156`

Ghi chú

Trong thực tế, ta còn gặp bài toán Poisson được trình bày dưới dạng sau.

Cho một biến ngẫu nhiên rời rạc `X` có phân phối Poisson và có số trung bình là `lambda`. Xác suất để biến ngẫu nhiên `X` có giá trị `x` là :

`p(x)=P(X=x)=(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)`

(11b)

Thí dụ : Trong một khu vực K, số học sinh hiếu động quá mức (hyperactive) trong một lớp có phân phối Poisson với trung bình là 3. Xác suất để một lớp nào đó có 4 học sinh hiếu động quá mức là :

    `P(X=4)=(e^(-3)xx3^4)/(4!)=0,168`