Hàm xác suất khối `p(x)` của một biến ngẫu nhiên rời rạc `X` được định nghĩa là :

`p(x)=P(X=x)`(1)

Giả sử `X` có thể có các giá trị `x_1,x_2,\ ...\ x_i,\ ...\ ,x_n`, khi ấy :

• nếu `X=x_i` :   `p(x_i)=P(X=x_i)!=0`
• ngoài ra :   `p(x)=P(X=x)=0`

Thí dụ 1 : Tung xúc xắc 6 mặt, kết quả là số nút X của mặt ngửa của xúc xắc. Giả sử xúc xắc đồng chất và đẳng hướng thì ta có :

• `p(1)=p(4)=1/6`
• `p(0)=p(2,5)=p(-4)=p(8)=0`

Nếu trình bày hàm xác suất khối của biến X ở dạng bảng thì :

`x`	1	2	3	4	5	6
`p(x)`	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Thí dụ 2 : Tung hai xúc xắc 6 mặt, kết quả là tổng số nút `X` của hai mặt ngửa. Giả sử cả hai xúc xắc đều đồng chất và đẳng hướng.

Như ta đã xem xét ở phần trước, `X` là một biến ngẫu nhiên được định nghĩa từ một không gian mẫu có 36 phần tử và có thể nhận các giá trị nguyên từ 2 đến 12. Để tính hàm xác suất khối cho một giá trị nào đó trong các giá trị này, thí dụ như 5, ta lý luận như sau :

• `x=5` tương ứng với sự kiện chứa 4 sự kiện sơ cấp đồng khả năng là (14), (23), (32), (41),
• vậy   `p(5)=4/36`

Lý luận tương tự, ta có thể xác định hàm xác suất khối cho tất cả các giá trị của X và ta thu được bảng sau :

`x`	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
`p(x)`	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Tính chất của hàm xác suất khối

Từ phần xem xét trên, ta thấy hàm xác suất khối có các tính chất sau :

•   `0<=p(x)<=1`
•   `sum_(i=1)^n p(x_i)=1`

 

Một cách tổng quát, hàm phân phối tích lũy, thường được gọi tắt là hàm phân phối, có ký hiệu là F(x), được định nghĩa như sau:

`F(x)=P(X<=x)`(2)

Vậy `F(x)` là xác suất để biến ngẫu nhiên `X` có giá trị bé hơn hay bằng `x`.

Đối với biến rời rạc, công thức (2) chuyển thành :

`F(x)=sum_(x_i<=x) p(x_i)`

(3)

Lưu ý

• `x` là một số thực bất kỳ, nghĩa là nằm trong khoảng `(-oo,oo)`
• Do `X` là biến rời rạc nên `F(x)` là hàm gián đoạn.

Các tính chất của hàm phân phối

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc có một số tính chất sau:

• `0<=F(x)<=1`
• `F(x)` là hàm không giảm
• `F(-oo)=0`
• `F(oo)=1`
• `P(a<=X<=b)=F(b)-F(a)`

Thí dụ 3 : Tiếp tục thí dụ 2 với thử nghiệm tung hai xúc xắc 6 mặt. Để tính hàm phân phối `F(x)` tại các giá trị của biến ngẫu nhiên `X`, thí dụ 5, ta sử dụng công thức (3). Vậy:

`F(5)=p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1/36+2/36+3/36+4/36``=10/36`

Tính toán tương tự cho các giá trị khác của `X`, ta có bảng sau:

`x`	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
`p(x)`	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36
`F(x)`	1/36	3/36	6/36	10/36	15/36	21/36	26/36	30/36	33/36	35/36	36/36

 

Kỳ vọng

Kỳ vọng (expected value) của biến ngẫu nhiên rời rạc `X`, ký hiệu là `mu` hay `E(X)`, được định nghĩa như sau:

`mu=E(X)=sum_(x_i) x_ip(x_i)`

(4)

Nếu ta đối chiếu với công thức tính trung bình có trọng số được chuẩn hóa:

`bar x=sum_(i+1)^n w_ix_i`

Ta thấy kỳ vọng chính là trung bình có trọng số, trong đó trọng số của mỗi số hạng chính là xác suất khối của số đó.

Phương sai

Một cách tổng quát, phương sai của một biến ngẫu nhiên `X`, được ký hiệu là `sigma^2` hay `V(X)`, được định nghĩa theo công thức sau:

`sigma^2=V(X)=E(X-mu)^2`(5)

Đối với biến rời rạc, phương sai của X được xác định theo công thức :

`sigma^2=sum_(x_i) (x_i-mu)^2\ p(x_i)=sum_(x_i) x_i^2\ p(x_i)-mu^2`

(6)

Thí dụ 4 : Ta tiếp tục sử dụng thí dụ 2 để tính kỳ vọng và phương sai cho thử nghiệm tung hai xúc xắc 6 mặt.

Để xác định kỳ vọng, ta phát triển thêm bảng kết quả thu từ thí dụ 2 và ta có bảng sau:

`x`	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
`p(x)`	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36
`xp(x)`	2/36	6/36	12/36	20/36	30/36	42/36	40/36	36/36	30/36	22/36	12/36

Vậy :

 `mu=sum_(x_i) x_i\ p(x_i)`

  `=(2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12)/36`

  `=252/36=7`

Để tính phương sai, ta tiếp tục phát triển thêm bảng kết quả thu được từ thí dụ 2.

`x`	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
`p(x)`	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36
`(x-mu)^2`	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25
`(x-mu)^2p(x)`	25/36	32/36	27/36	16/36	5/36	0	5/36	16/36	27/36	32/36	25/36

Vậy :

 `sigma^2=sum_(x_i) (x_i-mu)^2p(x_i)`

  `=(25+32+27+16+5+0+5+16+27+32+25)/36`

  `=210/36=5,83`