Một đại lượng nào đó được xem là biến ngẫu nhiên khi có các tính chất sau:

• có giá trị là số,
• được xác định dựa vào một không gian mẫu nào đó,
• được liên kết với một sự kiện tương ứng với không gian mẫu nói trên,
• có xác suất tương ứng.

Hình 1 minh họa cho các đặc điểm trên

Hình 1 Quan hệ giữa biến ngẫu nhiên, không gian mẫu và sự kiện

Người ta thường dùng quy ước sau để ký hiệu :

• biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng chữ in hoa, như `X,Y`,
• giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng chữ viết thường như `x,y`.

Các thí dụ dưới đây sẽ làm rõ thêm các khái niệm trên.

 

Trong các thí dụ tiếp sau, ta dùng thử nghiệm ngẫu nhiên tung hai xúc xắc đồng chất và đẳng hướng. Kết quả là mặt ngửa của các xúc xắc ấy và được ký hiệu là (`ab`) với `a` là mặt ngửa của xúc xắc thứ nhất, và `b` là mặt ngửa của xúc xắc thứ hai. Vậy không gian mẫu gồm 36 phần tử như sau :

     K = { (11), (12), (13), (14), (15), (16),
           (21), (22), (23), (24), (25), (26),
           (31), (32), (33), (34), (35), (36),
           (41), (42), (43), (44), (45), (46),
           (51), (52), (53), (54), (55), (56),
           (61), (62), (63), (64), (65), (66) }

Thí dụ 1 : Gọi `X` là tổng số của hai mặt ngửa. `X` được xem là biến ngẫu nhiên vì :

• có giá trị số : `X` là một số nguyên và có giá trị trong khoảng từ 2 đến 12,
• `X` được xác định dựa vào không gian mẫu `K` nói trên,
• liên kết với giá trị `x` là sự kiện `A_x`. Thí dụ `A_5` là tập hợp gồm 4 phần tử:
    `A_5` = { (14), (23), (32), (41) }
• với mỗi giá trị `x` ta có xác suất tương ứng, ký hiệu `P(X=x)`. Thí dụ :
  • `x=4` : `A_4` = { (13), (22), (31) } ; `P(X=4)=P(A_4)=3/36`
  • `x=9` : `A_9` = { (36), (45), (54), (63) } ; `P(X=9)=P(A_9)=4/36`

Lưu ý

Với cùng một không gian mẫu, ta có thể định nghĩa nhiều biến ngẫu nhiên khác nhau.

Thí dụ 2 : Với không gian mẫu trên, ta định nghĩa `Y` là hiệu số (`a-b`) của hai mặt ngửa. `Y` cũng được xem là biến ngẫu nhiên vì:

• có giá trị số : `Y` là một số nguyên và có giá trị trong khoảng từ -5 đến 5,
• `Y` được xác định dựa vào không gian mẫu `K` nói trên,
• liên kết với giá trị `y` là sự kiện `B_y`. Thí dụ `B_2` là tập hợp gồm 4 phần tử:
    `B_2` = { (64), (53), (42), (31) }
• với mỗi giá trị `y` ta có xác suất tương ứng, ký hiệu `P(Y=y)`. Thí dụ :
  
  • `y=3` : `B_3` = { (63), (52), (41) } ; `P(Y=3)=P(B_3)=3/36`
  • `y=-4` : `B_-4` = { (26), (15) } ; `P(Y=-4)=P(B_-4)=2/36`

Lưu ý

Khi các phần tử trong không gian mẫu có giá trị không phải là số, ta vẫn có thể định nghĩa được các biến ngẫu nhiên.

Thí dụ : Tung hai đồng xu có hai mặt là hình (H) và số (S), kết quả là mặt ngửa của hai đồng xu trên. Không gian mẫu gồm 4 phần tử là:

    `K` = { HH, HS, SH, SS }

Gọi `X` là số lần xuất hiện mặt số S. `X` là biến ngẫu nhiên vì :

• `X` được định nghĩa từ không gian mẫu `K`,
• `X` có giá trị số. Các giá trị của `X` là 0 (HH), 1 (HS và SH), và 2 (SS),
• liên kết với mỗi giá trị của `x` là sự kiện `A_x` và sự kiện này có giá trị cụ thể. Thí dụ :
    `x=1` : `A_1` = { HS, SH } ; `P(X=1)=P(A_1)=2/4`

 

Tùy theo đặc điểm của giá trị biến, biến ngẫu nhiên có thể là rời rạc hay liên tục.

• Biến ngẫu nhiên là rời rạc khi số giá trị của nó là hữu hạn hay vô hạn đếm được. Biến ngẫu nhiên trong các thí dụ trên thuộc loại này.
• Biến ngẫu nhiên là liên tục khi số giá trị nó là vô hạn không đếm được. Thí dụ cân nặng hay chiều cao của một người.

 

Nếu ta liên kết giá trị của biến ngẫu nhiên với xác suất của sự kiện tương ứng với giá trị ấy, ta có phân phối xác suất. Mối quan hệ này được thể hiện trên Hình 2.

Hình 2 Quan hệ giữa biến ngẫu nhiên, sự kiện và phân phối x

Phân phối xác suất có thể được trình bày dưới các dạng sau :

• công thức
• bảng
• đồ thị

Trong phần tiếp theo, ta sẽ lần lượt làm quen với cả ba dạng trên.