Ta thấy đây là bài toán về phân phối nhị thức với `p=0,15` và `n=8`. Vậy xác suất để trong nhóm này có `x` người thuận tay trái là :

  `p(x)=P(X=x)=(8!)/(x!(8-x)!)\ xx0,15^x xx0,85^(8-x)`

a. Xác suất để trong nhóm có 3 người thuận tay trái là `p(3)` :

  `p(3)=(8!)/(3!xx5!)\ xx0,15^3xx0,85^5=0,08386`

b. Do nhóm có ít hơn 3 người thuận tay trái nên số người thuận tay trái trong nhóm có thể là 0, 1 hay 2. Vậy xác suất để nhóm có ít hơn 3 người thuận tay trái là :

  `P(X< 3)=p(0)+p(1)+p(2)`

  `P(X< 3)=(8!)/(0!xx8!)\ xx0,15^0xx0,85^8+(8!)/(1!xx7!)\ xx0,15^1xx0,85^7+(8!)/(2!xx6!)\ xx0,15^2xx0,85^6`

  `P(X< 3)=0,27249+0,38469+0,23760=0,89478`

c. Ta thấy sự kiện "nhóm có nhiều hơn 3 người thuận tay trái" và sự kiện "nhóm có ít hơn hay 3 người thuận tay trái" là hai sự kiện bù nhau. Vậy :

  `P(X>3)=1-P(X<=3)=1-(P(X< 3)+p(3))`

  `P(X>3)=1-(0,89478+0,08386)=0,02136`

Để thuận tiện hơn trong việc tính toán và so sánh, chúng ta lập bảng tổng hợp các số liệu từ Bảng 1 như sau đây (Bảng 2):

Bảng 2 Bảng tổng hợp sản phẩm hỏng

Số sản phẩm hỏng mỗi giờ `X`	Số giờ `T(X)`	Số sản phẩm hỏng `XxxT(X)`	Tỷ lệ thời gian `T(X)//(sum T(X))`
0	21	0	0,42
1	18	18	0,36
2	8	16	0,16
3	2	6	0,04
4	1	1	0,02
Cộng	50	44	1,00

a. Qua bảng tổng hợp trên, ta thấy việc theo dõi được thực hiện trong 50 giờ và trong thời gian này có 44 sản phẩm bị hỏng. Như vậy trung bình mỗi giờ có 0,88 sản phẩm bị hỏng.

b. Nếu ta xem xác suất để mỗi giờ có `X` sản phẩm bị hỏng có phân phối Poisson thì `lambda` của phân phối này là 0,88 và hàm phân phối có dạng :

  `p(x)=P(X=x)=(e^(-0,88)0,88^x)/(x!)`

  Vậy tương ứng với các giá trị của X từ 0 đến 4 ta có

  `p(0)=(e^(-0,88)0,88^0)/(0!)=0,41478`

  `p(1)=(e^(-0,88)0,88^1)/(1!)=0,36501`

  `p(2)=(e^(-0,88)0,88^2)/(2!)=0,16060`

  `p(3)=(e^(-0,88)0,88^3)/(3!)=0,04711`

  `p(4)=(e^(-0,88)0,88^4)/(4!)=0,01036`

  Như vậy, nếu thời gian khảo sát là 50 giờ thì số giờ lý thuyết có `X` sản phẩm hỏng là :

  `X=0` : `T_("lt")(0)=p(0)xx50=0,41478xx50=20,739`

  `X=1` : `T_("lt")(1)=p(1)xx50=0,36501xx50=18,250`

  `X=2` : `T_("lt")(2)=p(2)xx50=0,16060xx50=8,030`

  `X=3` : `T_("lt")(3)=p(3)xx50=0,04711xx50=2,355`

  `X=4` : `T_("lt")(4)=p(4)xx50=0,01036xx50=0,518`

c. So sánh kết quả lý thuyết và kết quả thực tế được trình bày qua Bảng 3 sau đây.

Bảng 3 So sánh giữa số giờ thực tế và số giờ lý thuyết

Số sản phẩm hỏng mỗi giờ `X`	Số giờ thực tế `T(X)`	Số giờ lý thuyết `T_("lt")(X)`
0	21	20,74
1	18	18,25
2	8	8,03
3	2	2,36
4	1	0,52

Ta thấy sự chênh lệch giữa số liệu thực tế và số liệu lý thuyết khá nhỏ. Hơn nữa nếu ta làm tròn số liệu lý thuyết theo cách thông thường thì nó đúng bằng số liệu thực tế. Vì thế trong trường hợp này, phân phối Poisson phù hợp với số liệu thu được.

a. Với giá trị `P(Z<=1,11)` ta tra trực tiếp trên Bảng 1 và có: `P(Z<=1,11)=0,8665`

b. `P(Z<=-0,66)=1-P(Z<=0,66)=1-0,7454=0,2546`

c. `P(Z >1,44)=1-P(Z<=1,44)=1-0,9251=0,0749`

d. `P(Z > -0,55)=1-P(Z<=-0,55)=1-[1-P(Z<=0,55)]`

 `P(Z > -0,55)=P(Z<=0,55)=0,7088`

e. `P(- 0,77< Z<=1,77)=P(Z<=1,77)-P(Z<=-0,77)`

 `=P(Z<=1,77)+P(Z<=0,77)-1`

 `P(- 0,77< Z<=1,77)=0,9616+0,7794-1=0,7410`

a. Ta tra trực tiếp trên Bảng 2 và có : `a=0,5828`

b. `P(Z<=-b)=1-P(Z<=b)=1-0,24=0,76`
  ⇒  `-b=0,7063`   ⇒   `b=- 0,7063`

c. `P(Z>c)=P(Z <=-c)=0,66`   ⇒  `-c=0,4125`
  ⇒   `c=- 0,4125`

d. `P(Z<=-d)=[1-P(-d< Z< d)]/2=(1-0,84)/2`
  `=0,08=1-P(Z<=d)`

  ⇒   `P(Z<=d)=1-0,08=0,92`   ⇒   `d=1,405`

Để có thể sử dụng các bảng số về phân phối chuẩn, ta phải chuẩn hóa chỉ số `IQ` bằng công thức:

  `Z=(IQ-mu)/sigma=(IQ-106)/14`

a. `P(IQ< 100)=P(Z< (100-106)/14)=P(Z< -0,4268)`
  `=1-P(Z< 0,4268)=1-0,666=0,334`

b. `P(80<=IQ<=120)=P((80-106)/14<=Z<=(120-106)/14)`
  `=P(-1,857<=Z<=1)=P(Z<=1)-P(Z<=-1,857)`
  `=0,8413-(1-0,969)=0,810`

c. `P(IQ<=a)=P(Z<=(a-106)/14)=0,90`
  ⇒   `(a-106)/14=1,2816`

  Vậy `a=(14xx1,2816)+106=124`