Phân phối Student

Xét tổng thể có trung bình `mu` và độ lệch chuẩn `sigma`. Lấy từ tổng thể này ra mẫu có `n` phần tử. Mẫu này có trung bình `bar x` và độ lệch chuẩn `s`. Do mẫu lấy ngẫu nhiên nên các thông số này của mẫu cũng là các biến ngẫu nhiên. Trong phần khảo sát về phân phối của các số thống kê ta biết rằng biến số:

`t=((bar x-mu)sqrt(n))/s`

(10)

có phân phối Student.

Ước lượng khoảng cho trung bình

Sau khi đã xác định được các giá trị trung bình `bar x` và độ lệch chuẩn `s` của mẫu có kích thước là `n`, thì khoảng ước lượng của `mu` với độ tin cậy `1-alpha` là :

`bar x-t_(alpha//2,\ nu)s/sqrt(n)<=mu<=bar x+t_(alpha//2,\ nu)s/sqrt(n)`

(11)

trong đó `nu=n-1` là độ tự do, giá trị của `t_(alpha//2,\ nu)` được tra trong bảng phân vị Student.

Thí dụ

Khi đo chi phí nhiên liệu của 20 xe máy thuộc model M do công ty C sản xuất, ta thu được quãng đường trung bình đi được cho mỗi lít xăng A92 là 54,2 km với độ lệch chuẩn là 6,3 km. Hãy ước lượng quãng đường đi được trung bình của model này cho mỗi lít xăng A92 với độ tin cậy là 95%.

Ta có :   `alpha=0,05` ; `alpha//2=0,025` ; `nu=n-1=20-1=19`

Tra bảng phân vị Student với độ tự do `nu=19` và `a=0,025` ta có `t_(0,025,\ 19)=2,093`

Vậy :   `t_(0,025,\ 19)xx(6,3)/sqrt(20)=2,948`

Vì thế với độ tin cậy 95%, quãng đường đi được trung bình cho mỗi lít xăng A92 của xe máy model M thuộc khoảng ((54,2-2,9) - (54,2+2,9)) km hay (51,3 - 57,1) km.

Các trường hợp riêng

• Nếu mẫu lớn, ta có thể dùng `z_(alpha//2)` thay vì `t_(alpha//2)`
• Nếu đã biết `sigma`, ta sử dụng `sigma` thay vì `s`

 

Phân phối của tỷ lệ

Xét tổng thể có tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `pi`. Lấy một cách ngẫu nhiên từ tổng thể ấy mẫu có `n` phần tử (`n>=30`). Kết quả khảo sát trên mẫu cho thấy tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `p`. Do lấy mẫu ngẫu nhiên nên `p` cũng là biến ngẫu nhiên. Với số lần lấy mẫu đủ lớn, `p` có phân phối chuẩn với trung bình là `pi`.

Ước lượng tỷ lệ

Với độ tin cậy `1-alpha`, khoảng ước lượng cho tỷ lệ `pi` các phần tử của tổng thể có tính chất A là:

`p-z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n)<=pi<= p+z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n))`

(12)

với `p` là tỷ lệ phần tử có tính chất A của mẫu, `n` là số phần tử của mẫu (`n>=30`).

Thí dụ

Để đánh giá mức độ sử dụng máy điều hòa tại quận Q, người ta điều tra một mẫu gồm 150 gia đình. Kết quả điều tra cho thấy có 48 gia đình sử dụng máy điều hòa. Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa tại quận Q.

Tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa của mẫu là:  `p=48/150=0,32`

Ta có :   `alpha=0,05` ; `alpha//2=0,025`

Sử dụng bảng phân vị Student với `a=0,025` và dòng cuối cùng (độ tự do vô cùng lớn), ta có `z_(0,025)=1,96`

Vậy :   `z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n)=1,96xxsqrt((0,32xx0,68)/150)=0,0747`

Do đó `pi` thuộc khoảng ((0,3200-0,0747) - (0,3200+0,0747))

Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa ở quận Q được ước lượng trong khoảng 24,53% đến 39,47%

 

Khi ước lượng phương sai, ta cũng lý luận tương tự như hai trường hợp trên của trung bình và tỷ lệ. Điểm khác biệt ở đây là phương sai liên kết với phân phối `chi^2`. Do đó khoảng ước lượng của phương sai với độ tin cậy `1-alpha` là:

`((n-1)s^2)/(chi_(alpha//2,\ n-1)^2)<=sigma^2<=((n-1)s^2)/(chi_(1-alpha//2,\ n-1)^2)`

(13)

trong đó   `nu=n-1` là độ tự do, `chi_(1-alpha//2,\ n-1)^2` và `chi_(alpha//2,\ n-1)^2`được xác định từ bảng phân vị `chi^2`.