Để có thể dễ hình dung hơn, chúng ta hãy xem xét thí dụ sau.

Mặt hàng M của siêu thị S có 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm của công ty X và 70 sản phẩm của công ty Y. 80% sản phẩm của công ty X được xếp loại A, trong khi đó tỷ lệ này của công ty Y là 40%. Sự phân phối sản phẩm này được biểu thị trên Hình 1.

Hình 1 Sự phân phối sản phẩm của mặt hàng M

Như vậy, xét về mặt tổng thể, tỷ lệ sản phẩm xếp loại A của mặt hàng M là:

    `((0,8xx30)+(0,4xx70))/100=0,52`

Bây giờ ta lấy một cách ngẫu nhiên một sản phẩm của mặt hàng này. Xác suất để sản phẩm này thuộc loại A là bao nhiêu?

• Nếu ta lấy một cách hoàn toàn ngẫu nhiên từ 100 sản phẩm của mặt hàng M thì xác suất này là `P(E)=0,52` như ta vừa xem xét bên trên.
• Nhưng nếu ta biết thêm rằng sản phẩm này do công ty X sản xuất, thì thông tin này sẽ làm thay đổi tình thế, xác suất để sản phẩm này thuộc loại A bây giờ là 0,80, không còn là 0,52 như trước.

Như vậy trong trường hợp thứ hai, xác suất đã thay đổi trong điều kiện là ta đã biết "sản phẩm thuộc công ty X" (một sự kiện khác).

 

Qua thí dụ trên, ta thấy xác suất của sự kiện `E` có thể thay đổi khi ta có thông tin về một sự kiện `F` khác, hoặc trong điều kiện sự kiện `F` xảy ra. Khi đó xác suất được gọi là có điều kiện, ký hiệu `P(E|F)`.

Người ta chứng minh được rằng :

`P(E|F)=(P(EnnF))/(P(F))`

(4)

Công thức (4) còn được gọi là Định luật Bayes. Định luật này có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn.

Nếu ta xét thí dụ ở trên thì :

• `E` là sự kiện "sản phẩm thuộc loại A" :   `P(E)=0,52`
• `F` là sự kiện "sản phẩm do công ty X sản xuất" :   `P(F)=0,30`
• `EnnF` là sự kiện "sản phẩm thuộc loại A và do công ty X sản xuất" :   `P(EnnF)=0,24`
• `E|F` là sự kiện "sản phẩm thuộc loại A với điều kiện do công ty X sản xuất" :   `P(E|F)=0,8`

Vậy :   `(P(EnnF))/(P(F))=(0,24)/(0,3)=0,8=P(E|F)`

Công thức Bayes còn có thể phát triển thành :

`P(EnnF)=P(E|F)\ P(F)=P(F|E)\ P(E)`(5)

Công thức (5) còn được gọi là định luật nhân xác suất.

 

Hai sự kiện `E` và `F` được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xẩy ra sự kiện này hoàn toàn không phụ thuộc vào việc sự kiện kia có diễn ra hay không. Khi đó:

    `P(E|F)=P(E)`   và   `P(F|E)=P(F)`

Ta cũng có :     `P(EnnF)=P(E)\ P(F)`

Trong thí dụ trên, ta xét trường hợp tỷ lệ sản phẩm loại A của công ty Y cũng là 80% (Hình 2).

Hình 2 Sự phân phối lại của sản phẩm của mặt hàng M

Khi đó tỷ lệ sản phẩm xếp loại A của mặt hàng M là :

    `((0,8xx30)+(0,8xx70))/100=0,80`

Vậy :   `P(E)=P(E|F)=0,80`

Bây giờ, hai sự kiện "sản phẩm thuộc loại A" và "sản phẩm do công ty X sản xuất" hoàn toàn độc lập nhau.