Trong phần trước, ta đã có khái niệm về xác suất. Trong phần này ta tìm một định nghĩa tương đối chặt chẽ hơn, có cơ sở toán học.

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm về tần suất. Thực hiện một thử nghiệm thống kê `n` lần, quan sát thấy sự kiện `E` xẩy ra `f_E` lần. Tần suất của sự kiện `E` là tỷ số `f_E//n`.

Từ đó, ta có định nghĩa sau : xác suất của sự kiện `E`, ký hiệu `P(E)`, là giới hạn của tần suất khi số lần thử nghiệm `n` tăng lên rất lớn :

`P(E)=lim_(nrarroo) f_E/n`

(1)

 

Từ định nghĩa của xác suất, ta rút ra một số điểm sau :

• `0<=P(E)<=1`
• Gọi `E_i` là các sự kiện sơ cấp thì :

  `sum_(i=1)^k P(E_i)=1`

  (2)

• Nếu tất cả `k` sự kiện sơ cấp `E_i` đều có khả năng xảy ra như nhau thì:

  `P(E_i)=1/k`

  (3)

• Khi ấy, nếu sự kiện `E` chứa `f` sự kiện sơ cấp thì :

  `P(E)=f/k`

  (4)

Thí dụ 5 : Khi tung đồng xu cân bằng tuyệt đối thì xác suất để mặt ngửa là mặt hình là `P(H)=0,5`

Thí dụ 6 : Khi tung một xúc xắc cân bằng tuyệt đối thì :

• xác suất để mặt ngửa là một giá trị nào đó, 2 chẳng hạn, là `P(2)=1/6`
• xác suất để mặt ngửa là một giá trị chẵn (ký hiệu là sự kiện `A`) là `P(A)=3/6=0,5`

Thí dụ 7 : Tung hai xúc xắc cân bằng tuyệt đối (Tham khảo thêm Thí dụ 4 phần trước). Gọi `A_i` là sự kiện mà tổng số mặt ngửa của hai xúc xắc là `i`.

Như vậy `A_6` là sự kiện gồm 5 phần tử :   `A_ 6` = { (15), (24), (33), (42), (51) }

Do đó `P(A_ 6)=5/36`

 

Để xác định xác suất của một sự kiện thì tùy theo tình huống cụ thể mà ta sử dụng phương pháp tương ứng. Dưới đây là một số trường hợp.

Sự kiện không thể

Khi ta không thể nào làm cho sự kiện `E` xẩy ra dù có cố gắng thế nào đi nữa thì `E` là sự kiện không thể và `P(E)=0`. Sự kiện không thể được ký hiệu là `O/`.

Sự kiện chắc chắn

Khi sự kiện `E` đương nhiên xẩy ra dù có thế nào đi nữa thì `E` được gọi là sự kiện chắc chắn và `P(E)=1`.

Sự kiện bù

Sự kiện bù của sự kiện `E`, ký hiệu là `E^c` chứa tất cả các phần tử không thuộc `E` (Hình 1).

Hình 1 Sự kiện bù

Khi ấy :   `P(E^c)=1-P(E)`

Sự kiện tổng và sự kiện tích

Sự kiện tổng của hai sự kiện `E` và `F`, ký hiệu `EuuF`, là sự kiện xẩy ra khi một trong hai sự kiện xẩy ra (Hình 2a). Vậy sự kiện tổng gồm tất cả các phần tử của cả hai sự kiện `E` và `F`.

Sự kiện tích của hai sự kiện `E` và `F`, ký hiệu `EnnF`, là sự kiện xẩy ra khi cả hai sự kiện cùng xẩy ra (Hình 2b). Vậy sự kiện tích gồm những phần tử thuộc cả hai sự kiện `E` và `F` cùng một lúc.

Hình 2 Sự kiện tổng (2a) và sự kiện tích (2b)

Ta có :

`P(EuuF)=P(E)+P(F)-P(EnnF)`(3)

Công thức (3) là dạng đơn giản của công thức cộng xác suất.

Sự kiện xung khắc

Hai sự kiện `E` và `F` xung khắc nhau khi cả hai không thể cùng xẩy ra một lúc (Hình 3).

Hình 3 Sự kiện xung khắc

Khi ấy :   `EnnF=O/`   và   `P(EnnF)=0`

Sự kiện đối nhau

Hai sự kiện `E` và `F` đối nhau khi   `EnnF=O/`   và   `EuuF=K`

Vậy :   `P(F)=1-P(E)`

Sự kiện thuộc nhau

Sự kiện `E` thuộc sự kiện `F`, ký hiệu `EsubF`, khi mọi phần tử của `E` cũng là phần tử của `F` (Hình 4).

Hình 4 Sự kiện tùy thuộc

Khi ấy :   `P(E)<=P(F)`