Xét biến `X` của hai tổng thể có trung bình là `mu_1`, `mu_2` và phương sai là `sigma_1`, `sigma_2`. Ta lấy ngẫu nhiên hai mẫu có kích thước `n_1` và `n_2`. Kết quả tính toán trên hai mẫu cho biết chúng có trung bình là `bar x_1,bar x_2` và độ lệch chuẩn là `s_1,s_2`.

Thông thường, mục đích của chúng ta là so sánh trung bình của hai tổng thể với độ tin cậy `1-alpha` (hay mức ý nghĩa `alpha`) cho trước. Như vậy giả thuyết không sẽ là:

    Ho : `mu_1=mu_2`(8)

Khi so sánh, ta có thể biết độ lệch chuẩn của `X` hay không, mẫu nhỏ hay mẫu lớn, ... Những sự khác biệt này sẽ cần những cách tiến hành kiểm định khác nhau như ta sẽ xem xét. Trong thống kê, các phương pháp này được gọi là kiểm định `z` (`z`-test) hay kiểm định `t` (`t`-test) tùy theo trường hợp.

 

Khi ta đã biết độ lệch chuẩn `sigma_1` và `sigma_2` của các tổng thể, ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định z sau:

`z=(bar x_1-bar x_2)/sqrt(sigma_1^2/n_1+sigma_2^2/n_2)`

(9)

Tiêu chuẩn `z` này tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn `N(0,1)`

Khi ta không biết độ lệch chuẩn, nhưng sử dụng các mẫu có kích thước lớn, ta vẫn có thể sử dụng tiêu chuẩn kiểm định `z` tương tự công thức (9), trong đó `sigma` được thay thế bằng `s`:

`z=(bar x_1-bar x_2)/sqrt(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)`

(10)

Tiêu chuẩn này cũng tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn.

 

Trong trường hợp này, ta lại có hai trường hợp nhỏ sau :

Phương sai hai tổng thể bằng nhau

Nếu bằng cách nào đó, ta biết rằng phương sai của hai tổng thể bằng nhau (nhưng ta không biết giá trị này). Khi ấy, ta định nghĩa phương sai gộp (pooled variance) như sau:

`s_p^2=((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)/(n_1+n_2-2)`

(11)

Và ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định `t` theo công thức sau

`t=(bar x_1-bar x_2)/sqrt(s_p^2(1/n_1+1/n_2))`

(12)

Tiêu chuẩn này tuân theo phân phối Student với độ tự do của kiểm định là `nu=n_1+n_2-2`

Phương sai hai tổng thể không bằng nhau

Trong trường hợp này, ta dùng tiêu chuẩn kiểm định `t` tính theo công thức sau:

`t=(bar x_1-bar x_2)/sqrt(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)`

(13)

Tiêu chuẩn này có phân phối Student với độ tự do xác định theo công thức sau:

`nu=(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)/ ((s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1))`

(14)

Khi `nu` không phải là số nguyên, ta phải làm tròn để có thể sử dụng bảng phân vị Student.

 

Có một số trường hợp so sánh trung bình, mà các số liệu `x_(1i)` và `x_(2i)` của hai mẫu có sự tương ứng với nhau và có thể ghép thành từng cặp, như kết quả đánh giá cảm quan hai sản phẩm do cùng một người thực hiện. Khi ấy, kích thước 2 mẫu bằng nhau `n_1=n_2=n`.

So sánh trung bình trong trường hợp này được tiến hành như sau:

• Với mỗi cặp số liệu, tính hiệu số  `d_i=x_(1i)-x_(2i)`
• Đặt giả thuyết không Ho : `mu_d=0`
• Giả thuyết đối nghịch có thể là `mu_d!=0` hay `mu_d< 0` hay `mu_d>0` tùy theo trường hợp cụ thể.
• Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định :
  

  `K=bar d/(s_d/sqrt(n))`

  (15)

• Nếu mẫu có kích thước lớn, `K` có phân phối chuẩn tiêu chuẩn. Nếu mẫu có kích thước nhỏ, `K` có phân phối Student.

 

Để so sánh năng lượng cung cấp của hai loại bánh A và B, người ta đã lấy mẫu, xác định năng lượng cung cấp của từng loại bánh. Kết quả được ghi nhận ở Bảng 1.

Bảng 1 Kết quả xác định năng lượng của hai loại bánh A và B

	Bánh A	Bánh B
Kích thước mẫu	8	10
Trung bình (kcal)	325	295
Độ lệch chuẩn (kcal)	34	26

Hỏi giá trị năng lượng của hai loại bánh này có thực sự khác nhau với độ tin cậy 95%

Trong trường hợp này, ta so sánh hai trung bình về năng lượng cung cấp `mu_A` và `mu_B` của hai loại bánh A và B. Với yêu cầu kiểm định, ta có cặp giả thuyết sau:

•   Ho : `mu_A=mu_B`
•   Ha : `mu_A!=mu_B`

Vì mẫu nhỏ và ta không có thông tin nào về độ lệch chuẩn nên ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định :

  `t=(bar x_A-bar x_B)/sqrt(s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)`

Tiêu chuẩn này có phân phối Student với độ tự do:

  `nu=(s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)/ ((s_A^2/n_A)^2/(n_A-1)+(s_B^2/n_B)^2/(n_B-1))=(34^2/8+26^2/10)/ ((34^2/8)^2/(8-1)+(26^2/10)^2/(10-1))=12,88`

Làm tròn `nu=13` để tính toán tiếp.

Do đây là kiểm định hai phía, hàm mật độ của phân phối Student là hàm chẵn, nên giá trị tới hạn của tiêu chuẩn kiểm định t là `t"*"=t_(0,025,\ 13)=2,1604`

Từ các số liệu ban đầu, ta có :

  `t_o=(325-295)/sqrt(34^2/8+26^2/10)=2,06`

Vì `t_o< t`* nên ta không thể bác bỏ Ho.

Kết luận : năng lượng cung cấp của hai loại bánh A và B tương đương nhau.