Xét tập hợp trong đó tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `p`. Nếu ta lấy ra `n` lần, mỗi lần 1 phần tử, sau mỗi lần đểu trả phần tử về mẫu, thì xác suất để trong `n` lần đó có `x` lần được phần tử có tính chất A được tính như sau:

`p(x)=P(X=x)=(n!)/(x!(n-x)!)\ p^x(1-p)^(n-x)`

(7)

với   `n! =nxx(n-1)xx(n-2)xx\ ...\ xx3xx2xx1`

Ghi chú : Để áp dụng phân phối nhị thức, ta cần các điều kiện sau :

• Kết quả của mỗi lần lấy mẫu chỉ có một trong hai giá trị, như đạt hay không đạt.
• Các lần lấy mẫu phải "độc lập" nhau. Điều này có nghĩa là xác suất để phần tử lấy ra có tính chất A trong mọi lần lấy mẫu đều như nhau, đều là `p`. Một trong những cách để đạt được sự độc lập này là sau mỗi lần lấy mẫu, thì phần tử lấy ra được hoàn trở lại để không ảnh hưởng đến xác suất của các lần lấy mẫu sau đó.

Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy trong thành phần của công thức (7) thì thừa số:

`((n),(x))=(n!)/(x!(n-x)!)`

chính là số tổ hợp `n` chập `x` mà ta đã xem xét trong phần "Các quy tắc đếm".

Thí dụ : Một lô hàng chứa 8 sản phẩm của công ty A và 12 sản phẩm của các công ty khác. Nếu ta lấy ra lần lượt 8 sản phẩm, sau mỗi lần đều hoàn trả, thì xác suất để có 3 sản phẩm của công ty A là bao nhiêu ?

Ta có thể áp dụng phân phối nhị thức trong trường hợp này với :

• `p` là xác suất để lấy ra sản phẩm thuộc công ty A :
  `p=8/(8+12)=0,4`   ⇒   `1-p=0,6`
• Vậy :   `p(3)=(8!)/(3!xx5!)xx0,4^3xx0,6^5=0,2787`

 

Phân phối đa phương thức là sự mở rộng của phân phối nhị thức, trong đó kết quả của mỗi lần lấy mẫu có thể có nhiều hơn hai giá trị.

Xét một tập hợp và các phần tử trong tập hợp có `k` tính chất khác nhau (`k>=2`), trong đó tỷ lệ các phần tử có tính chất A_`i` là `p_i`. Ta lấy ra `n` lần, mỗi lần 1 phần tử, sau mỗi lần đều hoàn trả lại phần tử đã lấy ra. Ta muốn trong `n` lần đó có `x_1` lần được phần tử có tính chất A₁ , có `x_2` lần được phần tử có tính chất A₂ , . . . , có `x_k` lần được phần tử có tính chất A_k. Xác suất của sự kiện này được tính như sau:

`P(X_1=x_1,X_2=x_2,\ ...\ ,X_k=x_k)=(n!)/(x_1!x_2!\ ...\ x_k!)\ p_1^(x_1)p_2^(x_2)\ ...\ p_k^(x_k)`

(8)

hay :

`P(X_1=x_1,X_2=x_2,\ ...\ ,X_k=x_k)=(n!)/(prod_(i=1)^k x_i!)\ prod_(i=1)^k p_i^(x_k)`

(9)

Qua đó, ta thấy phân phối nhị thức là một trường hợp riêng của phân phối đa phương thức với `k=2`.

Để áp dụng phân phối đa phương thức, ngoài điều kiện về sự độc lập của các lần lấy mẫu như ta đã xem xét ở phân phối nhị thức, ta cần đáp ứng thêm hai điều kiện sau:

+   `x_1+x_2+\ ...\ +x_k=sum_(i=1)^k x_i=n`

+   `p_1+p_2+\ ...\ +p_k=sum_(i=1)^k p_i=1`

Thí dụ : Một lô hàng chứa 8 sản phẩm của công ty A, 2 sản phẩm của công ty B và 10 sản phẩm của công ty C. Nếu ta lấy ra lần lượt 8 sản phẩm, sau mỗi lần đều hoàn trả thì xác suất để có 3 sản phẩm của công ty A, 1 sản phẩm của công ty B và 4 sản phẩm của công ty C (sự kiện E) là bao nhiêu?

Ta có :   `p_"A"=8/20=0,40` ;   `p_"B"=2/20=0,10` ;   `p_"C"=10/20=0,50`

Và :   `x_"A"=3` ;   `x_"B"=1` ;   `x_"C"=4` ;   `n=8`

Ta thấy các điều kiện cho phân phối đa phương thức đều được đáp ứng. Vậy:

  `P("E")=(8!)/(3!xx1!xx4!)xx 0,4^3xx0,1^1xx0,5^4=0,112`