Phương pháp này thường được dùng như một giai đoạn trung gian để xác định vùng chứa giá trị của các yếu tố để đáp ứng đạt giá trị tối ưu – sau đây gọi tắt là vùng tối ưu - trong trường hợp có nhiều hơn 1 yếu tố khảo sát.

Quá trình thực hiện gồm một số bước, mỗi bước chỉ thực hiện một hay một số ít các nghiệm thức. Giá trị của các yếu tố thí nghiệm trong một bước được xác định dựa trên nhận định hay phân tích kết quả của các thí nghiệm trước. Quá trình được tiếp diễn cho đến khi đạt đến kết quả yêu cầu. Vấn đề được đặt ra là làm thế nào để tiến được đến vùng tối ưu một cách nhanh nhất và chính xác nhất.

Để minh họa, ta xem xét thí dụ với thí nghiệm 2 yếu tố sau.

Thí dụ : Xét đáp ứng `Y` phụ thuộc 2 yếu tố `X_1` và `X_2`, có đường đồng mức lý thuyết được biểu diễn trên Hình 1. Giả sử bằng kinh nghiệm, ta chọn được 2 nghiệm thức xuất phát tương ứng với `(x_1=80`, `x_2=180`) và (`x_1=80`, `x_2=190`). Từ hai nghiệm thức này, ta thực hiện quá trình thí nghiệm để tìm vùng tối ưu bằng cách thay đổi dần từng yếu tố như được minh họa trên Hình 1.

Hình 1 Tiến đến vùng tối ưu bằng cách thay đổi dần từng yếu tố

Quá trình tiến đến vùng tổi ưu được mô tả như sau:

• Trước hết thực hiện các nghiệm thức 1 và 2. Thu được `y_1=73` và `y_2=55`. Vì `y_2` bé hơn `y_1` đáng kể nên quyết định giữ `x_1` không đổi và giảm `x_2` xuống 170 (nghiệm thức 3).
• Thực hiện nghiệm thức 3, thu được `y_3=84`. Do `y` tăng nên quyết định giảm tiếp `x_2` xuống 160 (nghiệm thức 4).
• Thực hiện và lý luận tương tự cho các nghiệm thức 4, 5, 6 với `x_2` giảm dần.
• Vì `y_6` bé hơn `y_5` đáng kể (83 so với 88) nên quyết định không giảm `x_2` nữa và chọn cố định `x_2` ở 160 (ứng với `y_4=89` là giá trị cao nhất) và thay đổi `x_1`.
• Thực hiện và lý luận tương tự như trên cho các nghiệm thức 7, 8, 9, 10 và 11 bằng cách tăng dần `x_1`.
• Vì `y_11` bé hơn `y_10` đáng kể (79 so với 87) nên dừng quá trình thí nghiệm.
• Chọn vùng tối ưu với `x_1` trong khoảng 80 đến 110, `x_2` trong khoảng 140 đến 170.

Qua thí dụ này, ta thấy phương pháp tiến đến vùng tối ưu bằng cách thay đổi dần từng yếu tố không hiệu quả vì cần dùng nhiều nghiệm thức, đặc biệt khi có nhiều yếu tố. Ngoài ra vùng tối ưu tìm được có thể chưa hoàn toàn chính xác (như trong thí dụ trên).

Trong nhóm các phương pháp leo dốc, phương pháp đường dốc chính thường được dùng hơn cả vì cần ít thí nghiệm và có độ chính xác tương đối cao.

 

Trong nhiều trường hợp, trên bề mặt đáp ứng có tồn tại một cực trị (lưu ý rằng cực trị không đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Khi đáp ứng `Y` phụ thuộc vào `k` yếu tố `X_1, X_2, ..., X_i , ... , X_k` thì tại cực trị ta có:

`(del y)/(del x_1)=(del y)/(del x_2)=cdots=(del y)/(del x_i)=cdots=(del y)/(del x_k)=0`

(1)

Điểm cực trị này còn được gọi là điểm dừng (stationary point).

 

Xét mặt cong S biểu diễn sự phụ thuộc của đáp ứng `Y` vào hai yếu tố `X_1` và `X_2`, và một điểm M trên mặt này. Trên S còn có các đường đồng mức `y_i`. Về mặt toán học, ta gọi đường dốc chính là đường qua M và vuông góc với tất cả các đường đồng mức (Hình 2).

Hình 2 Bề mặt đáp ứng, đường đồng mức, và đường dốc chính

Tại giao điểm của đường dốc chính và đường đồng mức, pháp tuyến của đường đồng mức chính là tiếp tuyến của đường dốc chính. Tổng quát hơn, tại mỗi điểm của đường dốc chính, véc tơ chỉ phương của đường này chính là grad `y` tại điểm đó (Hình 3).

Hình 3 Đường đồng mức, đường dốc chính, và grad `y`

Cần nhắc lại rằng `"grad"\ y` là một vectơ được định nghĩa như sau:

`"grad"\ y=(del y)/(del x_1)vec(u_1) + (del y)/(del x_2)vec(u_2) + cdots + (del y)/(del x_k)vec(u_k) = sum_(i=1)^k (del y)/(del x_i)vec(u_i)`

(2)

trong đó vectơ `vec(u_i)` là vectơ đơn vị của `x_i`.

 

Phương pháp đường dốc chính (steepest ascent) thường được dùng để tìm vùng tối ưu với số thí nghiệm không nhiều, đồng thời thu được vùng tối ưu hiệu quả hơn. Ta có thể xem xét phương pháp này bằng các sử dụng lại các thông tin của thí dụ trên và dùng phương pháp đường dốc chính. Quá trình được minh họa trên Hình 4.

Hình 4 Tiến đến vùng tối ưu bằng đường dốc chính

Quá trình tiến đến vùng tổi ưu trong phương pháp đường dốc chính được mô tả khái quát như sau:

• Dựa vào kinh nghiệm chuyên môn hoặc qua tham khảo các tài liệu hay điều tra thực tế, chọn 4 nghiệm thức 1, 2, 3, và 4.
• Tiến hành thí nghiệm cho 4 nghiệm thức 1, 2, 3, và 4. Thu được các đáp ứng tương ứng.
• Trên cơ sở phân tích các đáp ứng, tìm được đường dốc chính, tìm ra giá trị các yếu tố cho nghiệm thức 5. Thực hiện thí nghiệm cho nghiệm thức này.
• Tương tự, thực hiện lần lượt các nghiệm thức 6, 7, và 8. Đường dốc chính và giá trị các yếu tố của nghiệm thức sau dựa vào phân tích đáp ứng của các nghiệm thức trước.
• Dừng thí nghiệm khi thấy đáp ứng suy giảm đáng kể, hay có xu hướng giảm dần.
• Quyết định vùng tối ưu

Qua so sánh với phương pháp thay đổi dần từng yếu tố (Hình 1), phương pháp đường dốc chính cần ít nghiệm thức hơn, vùng tối ưu thu được cũng tốt hơn.