Thông thường, trong bước đầu khảo sát, chúng ta thường chỉ xác định giá trị tối ưu của các yếu tố cho một đáp ứng nào đó. Trong thực tế ta thường cần tìm giá trị tốt nhất cho một số đáp ứng khác nhau. Thế nhưng giá trị tốt nhất của các yếu tố khảo sát cho đáp ứng `Y_1` này, thì thường không phải là giá trị tốt nhất cho đáp ứng `Y_2` khác. Để tìm được giá trị của các yếu tố khảo sát có thể dung hòa nhiều đáp ứng, người ta đã đề xuất một số phương pháp. Một trong số ấy là sử dụng các hàm mục tiêu (desirability function). Trong phần trình bày sau đây, chúng tôi giới thiệu các dạng hàm mục tiêu do Derringer và Suich đề xuất (1980), đang được sử dụng rộng rãi.

Sau quá trình khảo sát, ta tìm được sự phụ thuộc (gần đúng) của đáp ứng `Y` vào các yếu tố `X_i`. Ta gọi hàm mục tiêu của `Y`, ký hiệu `d(Y)` là một hàm số:

• có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1,
• giá trị 0 của `d(Y)` tương ứng với các giá trị của `Y` không thể chấp nhận,
• giá trị 1 của `d(Y)` tương ứng với giá trị hay các giá trị tốt nhất của `Y`,
• khi `d(Y)` tăng, mức độ đáp ứng yêu cầu tăng dần, sự chênh lệch giữa `Y` và mục tiêu giảm dần.

 

Ta xem xét một số trường hợp sau :

Trường hợp 1

`Y` tốt nhất khi đạt giá trị cực đại `M` và ta không chấp nhận khi `Y` bé hơn giá trị `A`. Vậy ta có:

  `{[Y < A, :, d(Y)=0], [A <= Y <= M, :, 0 <= d(Y) <= 1], [Y > M, :, d(Y)=1] :}`

Những điểm này được thể hiện trên Hình 1a.

Trường hợp 2

Y tốt nhất khi đạt giá trị cực tiểu m và ta không chấp nhận khi Y lớn hơn giá trị B. Vậy ta có:

  `{[Y > B, :, d(Y)=0], [m <= Y <= B, :, 0 <= d(Y) <= 1], [Y < M, :, d(Y)=1] :}`

Những điểm này được thể hiện trên Hình 1b.

Trường hợp 3

Ta không chấp nhận khi Y lớn hơn giá trị B hay bé hơn giá trị A; và Y tốt nhất khi đạt giá trị C (A < C < B). Vậy ta có:

  `{[Y < A, :, d(Y)=0], [A <= Y <= B, :, 0 <= d(Y) <= 1], [Y = C, :, d(Y)=1], [Y > B, :, d(Y)=0] :}`

Những điểm này được thể hiện trên Hình 1c.

Hình 1 Các trường hợp của hàm mục tiêu

 

Các đoạn nối hai điểm có `d(Y)=0` và `d(Y)=1` có thể thẳng hay cong tùy theo định nghĩa của hàm mục tiêu. Một cách tổng quát ta có thể biểu diễn hàm mục tiêu theo các trường hợp như sau.

Trường hợp 1

Mục tiêu là cực đại đáp ứng `Y`. Khi ấy hàm mục tiêu có thể biểu diễn như sau:

`d(Y)={[0, Y < A], [ ((Y-A)/(M-A))^r, A <= Y <= M], [1, Y > M] :}`

(1)

Các trường hợp của `r` được thể hiện trên Hình 2a.

Trường hợp 2

Mục tiêu là cực tiểu đáp ứng `Y`. Khi ấy hàm mục tiêu có thể biểu diễn như sau:

`d(Y)={[1, Y < m], [ ((B-Y)/(B-m))^r, m <= Y <= B], [0, Y > B] :}`

(2)

Các trường hợp của `r` được thể hiện trên Hình 2b.

Trường hợp 3

Mục tiêu là Y đạt giá trị C và không chấp nhận khi Y > B hay Y < A. Khi ấy hàm mục tiêu có thể biểu diễn như sau:

`d(Y)={[0, Y < A], [ ((Y-A)/(C-A))^(r_1), A <= Y < C], [((B-Y)/(B-C))^(r_2), C <= Y <= B], [0, Y > B] :}`

(3)

Các trường hợp của `r_1` và `r_2` được thể hiện trên Hình 2c.

Hình 2 Các trường hợp và các loại hàm mục tiêu
1 : `0 < r_1 < 1` ; 2 : `r_1=1` ; 3 : `r_1 > 1` ; 4 : `r_2 > 1` ; 5 : `r_2=1` ; 6 : `0 < r_2 < 1`

Ghi chú : Trong phần trình bày kết quả của một số phần mềm xử lý số liệu, để tránh các điểm gãy khúc tại những điểm chuyển tiếp trong các biểu đồ của hàm mục tiêu cũng như để tăng tính mỹ thuật, người ta dùng các đường cong tại các vùng chuyển tiếp biểu diễn các hàm phi tuyến. Thí dụ trong trường hợp của JMP các hàm này tại điểm chuyển tiếp là hàm bậc 3.

 

Thông thường thí nghiệm thường tìm giá trị tốt nhất của các yếu tố cho `k` đáp ứng `Y_1, Y_2, . . . , Y_k` khác nhau. Mỗi đáp ứng `Y_i` có hàm mục tiêu riêng `d_i(Y_i)` tương ứng. Nếu tất cả `k` đáp ứng này đều có mức độ quan trọng như nhau thì hàm mục tiêu chung `D` cho toàn bộ `k` đáp ứng là trung bình nhân của `k` hàm mục tiêu riêng. Điều này có nghĩa là:

`D^k=d_1(Y_1)\ d_2(Y_2)\ cdots\ d_k(Y_k) = prod_(i=1)^k d_i(Y_i) `

(4)

Hay :

`D=[d_1(Y_1)\ d_2(Y_2)\ cdots\ d_k(Y_k)]^(1/k)=[ prod_(i=1)^k d_i(Y_i) ]^(1/k)`

(5)

Nếu `k` đáp ứng này có mức độ quan trọng khác nhau, gọi `w_i` là trọng số (weight, còn được gọi là hệ số quan trọng) của đáp ứng `Y_i`, hàm mục tiêu chung `D` là trung bình nhân có trọng số của `k` hàm mục tiêu riêng. Đặt:

`W=sum_(i=1)^k w_i`

thì :

`D^W=[d_1(Y_1)]^(w_1) [d_2(Y_2)]^(w_2)\ cdots\ [d_k(Y_k)]^(w_k) =prod_(i=1)^k [d_i(Y_i)]^(w_i)`

(6)

hay :

`D=[ [d_1(Y_1)]^(w_1) [d_2(Y_2)]^(w_2)\ cdots\ [d_k(Y_k)]^(w_k) ]^(1/W) = [ prod_(i=1)^k [d_i(Y_i)]^(w_i) ]^(1/W) `

(7)

Nếu các trọng số này được chuẩn hóa, nghĩa là :

`W=sum_(i=1)^k w_i = 1`

thì :

`D= [d_1(Y_1)]^(w_1) [d_2(Y_2)]^(w_2)\ cdots\ [d_k(Y_k)]^(w_k) = prod_(i=1)^k [d_i(Y_i)]^(w_i) `

(8)