Để đánh giá sự khác nhau giữa các dạng thức dòng (các dòng của `mb(R)`), hay giữa các dạng thức cột (các cột của `mb(C)`, ta sử dụng thông số "khoảng cách", còn gọi là khoảng cách khi-bình phương.

Xét hai dòng `mb(i)` và `mb(i"'"")` của ma trận `mb(R)`, khoảng cách `d(mb(i, i"'""))` giữa hai dòng này được định nghĩa như sau:

`d(mb(i,i"'"))^2=(mb(r_i-r_i"'"))^T mb(D)_c^(-1) (mb(r_i-r_i"'")) `(13)

Vậy khoảng cách từ dạng thức dòng `mb(i)` đến tâm `mb(c)` được xác định như sau:

`d(mb(i,c))^2=(mb(r_i-c))^T mb(D)_c^(-1) (mb(r_i-c)) `(14)

Tương tự, xét hai cột `mb(j)` và `mb(j"'") ` của ma trận `mb(C)`, khoảng cách `d(mb(j, j"'"))` giữa hai cột này được định nghĩa như sau:

`d(mb(j, j"'"))^2=(mb(c_j-c_(j"'")))^T mb(D)_r^(-1) (mb(c_j-c_(j"'")))` (15)

Vậy khoảng cách từ dạng thức cột `mb(j)` đến tâm `mb(r)` được xác định như sau:

`d(mb(j, r))^2=(mb(c_j-r))^T mb(D)_r^(-1) (mb(c_j-r))` (16)

Khái niệm quán tính (inertia) bắt nguồn từ Cơ học, trong đó người ta định nghĩa:

Quán tính = Khối lượng × Khoảng cách ²(17)

Ở đây ta cũng định nghĩa tương tự, quán tính của dạng thức dòng `mb(i)`, ký hiệu `I_i`, là tích của trọng số dòng ấy `p_(i•)` nhân với bình phương khoảng cách từ dạng thức dòng ấy đến trọng tâm `mb(c)`:

`I_(mb(i)) = p_(i•) d(mb(i,c))^2 = p_(i•) (mb(r_i-c))^T mb(D)_c^(-1) (mb(r_i-c)) `(18)

Và tổng quán tính của tất cả các dạng thức dòng là:

`I = sum_(i=1)^r p_(i•) (mb(r_i-c))^T mb(D)_c^(-1) (mb(r_i-c)) `(19)

Tương tự, quán tính của dạng thức cột `mb(j)`, ký hiệu `I_j`, là tích của trọng số cột ấy `p_(•j)` nhân với bình phương khoảng cách từ dạng thức cột ấy đến trọng tâm `mb(r)`:

`I_(mb(j)) = p_(•j) d(mb(j, r))^2 = p_(•j) (mb(c_j-r))^T mb(D)_r^(-1) (mb(c_j-r))` (20)

Và tổng quán tính của tất cả các dạng thức cột là:

`I = sum_(j=1)^s p_(•j) (mb(c_j-r))^T mb(D)_r^(-1) (mb(c_j-r))` (21)

Vì vai trò của cột và dòng tương tự nhau nên tổng quán tính xác định theo dòng hay theo cột đều như nhau. Người ta cũng chứng minh được:

`I=chi^2/n=sum_(h=1)^k lambda_h `

(22)

trong đó :

• `lambda_h` là các giá trị riêng của ma trận `mb(Lambda)` có được khi phân giải ma trận `mb(P) - mb(rc)^T` bằng phương pháp phân giải giá trị suy biến (singular value decomposition),
• `chi^2` là số thống kê được xác định theo công thức:

  `chi^2=sum_(i=1)^r sum_(j=1)^s (p_(ij)-p_(i•)p_(•j))^2 / (p_(i•)p_(•j)) `

  (23)

  Ý nghĩa của quán tính là lượng thông tin mà một đối tượng chứa.

Xét một dữ liệu gồm `p` phần tử và k biến định danh với tổng số mức là `n`. Ma trận chỉ số, được ký hiệu là `mb(G)` gồm `p` dòng và `n` cột, `n` cột được chia làm `k` nhóm, số cột trong mỗi nhóm bằng với số mức của biến tương ứng. Nếu phần tử `i` có mức `j` thì ô `ij` có giá trị là 1, ngược lại ô `ij` có giá trị là 0.

Thí dụ ta có bảng dữ liệu sau về một số thông tin cá nhân (Bảng 4)

Bảng 4 Thông tin cá nhân

	Giới tính	Tuổi	Tình trạng gia đình	Sở thích
1	Nam	< 25	Độc thân	Âm nhạc
2	Nam	> 50	Độc thân	Thể thao
3	Nữ	25 - 50	Có gia đình	Công nghệ
4	Nam	> 50	Độc thân	Xem phim
5	Nữ	25 - 50	Có gia đình	Xem phim
6	Nữ	25 - 50	Độc thân	Âm nhạc
7	Nam	< 25	Có gia đình	Thể thao
8	Nam	> 50	Có gia đình	Công nghệ
9	Nam	25 - 50	Độc thân	Âm nhạc
10	Nữ	< 25	Có gia đình	Xem phim
11	Nữ	> 50	Độc thân	Âm nhạc
12	Nam	< 25	Có gia đình	Công nghệ

Với bảng dữ liệu này, ma trận chỉ số sẽ có 12 dòng, 11 cột và có giá trị các ô như Bảng 5.

Bảng 5 Ma trận chỉ số của Bảng 4

		Giới tính			Tuổi				TT_GD			Sở thích
		Nam	Nữ		< 25	25-50	> 50		ĐT	CGĐ		CN	AN	XP	TT
1		1	0		1	0	0		1	0		0	1	0	0
2		1	0		0	0	1		1	0		0	0	0	1
3		0	1		0	1	0		0	1		1	0	0	0
4		1	0		0	0	1		1	0		0	0	1	0
5		0	1		0	1	0		0	1		0	0	1	0
6		0	1		0	1	0		1	0		0	1	0	0
7		1	0		1	0	0		0	1		0	0	0	1
8		1	0		0	0	1		0	1		1	0	0	0
9		1	0		0	1	0		1	0		1	0	0	0
10		0	1		1	0	0		0	1		0	0	1	0
11		0	1		0	0	1		1	0		0	1	0	0
12		1	0		1	0	0		0	1		1	0	0	0

Ma trận Burt được xác định bằng phép nhân `mb(G)^T mb(G)`. Thí dụ từ ma trận chỉ số ở Bảng 5, ta có ma trận Burt ở Bảng 6.

Bảng 6 Ma trận Burt từ ma trận chỉ số ở Bảng 5

		Giới tính			Tuổi				TT_GD			Sở thích
		Nam	Nữ		< 25	25-50	> 50		ĐT	CGĐ		CN	AN	XP	TT
Giới tính	Nam	7	0		3	1	3		4	3		3	1	1	2
	Nữ	0	5		1	3	1		2	3		1	2	2	0
Tuổi	< 25	3	1		4	0	0		1	3		1	1	1	1
	25-50	1	3		0	4	0		2	2		2	1	1	0
	> 50	3	1		0	0	4		3	1		1	1	1	1
TT_GD	ĐT	4	2		1	2	3		6	0		1	3	1	1
	CGĐ	3	3		3	2	1		0	6		3	0	2	1
Sở thích	CN	3	1		1	2	1		1	3		4	0	0	0
	AN	1	2		1	1	1		3	0		0	3	0	0
	XP	1	2		1	1	1		1	2		0	0	3	0
	TT	2	0		1	0	1		1	1		0	0	0	2

Từ Bảng 6, ta có một số nhận xét sau về ma trận Burt:

• là một ma trận vuông cấp `n`,
• có thể xem như hợp thành từ `k^2` ma trận con,
• mỗi ma trận con được xem như một bảng tham chiếu chéo của hai biến,
• các ma trận con trên đường chéo chính là các ma trận chéo,
• là một ma trận đối xứng.

Trong thí dụ này, chúng ta sẽ khảo sát một số đặc điểm về sử dụng trà. Tập tin nguyên bản tea.csv thuộc phụ kiện FactoMineR. Tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ sử dụng một phần của tập tin trên và biên tập lại để dễ hiểu và gọn gàng hơn (tập tin tra.csv).

Sau khi chuyển dữ liệu này vào R với tên tra, và dùng lệnh str để tìm hiểu nội dung, ta có:

> str(tra)
'data.frame':	300 obs. of  9 variables:
 $ Gio_Co_Dinh : Factor w/ 2 levels "CD_N","CD_Y": 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 ...
 $ Thuong_Xuyen: Factor w/ 2 levels "TX_N","TX_Y": 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ...
 $ Ban         : Factor w/ 2 levels "Ban_N","Ban_Y": 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ...
 $ Loai        : Factor w/ 3 levels "Den","EG","Xanh": 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ...
 $ Pha_Che     : Factor w/ 4 levels "kh_Pha","th_Chanh",..: 1 4 1 1 1 1 1 4 4 1 ...
 $ Duong       : Factor w/ 2 levels "kh_Duong","th_Duong": 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ...
 $ Gioi_Tinh   : Factor w/ 2 levels "Nam","Nu": 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 ...
 $ Tuoi        : Factor w/ 5 levels "15-24","25-34",..: 3 4 4 1 4 1 3 3 3 3 ...
 $ Sang_Khoai  : Factor w/ 2 levels "SK_N","SK_Y": 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ...

Ta thấy dữ liệu này gồm 300 phần tử với 9 biến. Ý nghĩa của các biến và các mức như sau:

• Gio_Co_Dinh : uống trà vào giờ cố định (CD_Y) hay không (CD_N),
• Thuong_Xuyen : uống trà thường xuyên (TX_Y) hay không (TX_N),
• Ban : uống trà cùng với bạn (Ban_Y) hay không (Ban_N),
• Loai : loại trà thường dùng : trà đen (Den), trà xanh (Xanh), trà Earl Gray (EG),
• Pha_Che : uống trà không pha (kh_Pha), thêm chanh (th_Chanh), thêm sữa (th_Sua), hay thêm các thứ khác (th_Khac),
• Duong : uống trà có thêm đường (th_Duong) hay không (kh_Duong),
• Gioi_Tinh : nam hay nữ,
• Tuoi : độ tuổi,
• Sang_Khoai : sau khi uống trà cảm thấy sảng khoái (SK_Y) hay không (SK_N).

Vậy toàn bộ 9 biến đều là biến định danh.

Để phân tích tương liên đa biến, ta sử dụng lệnh mjca của phụ kiện ca. Ngoài dữ liệu, ta cần lưu ý một số đối số sau:

• nd : số thành tố chính được xuất ra trong kết quả, giá trị mặc định là 2,
• lambda : thuật toán sử dụng khi xử lý dữ liệu, các giá trị là "indicator", "burt", "adjusted" là giá trị mặc định, và "JCA".

Để đơn giản, ta sử dụng các giá trị mặc định của lệnh này và thu được một vài kết quả sau:

> library(ca)
> kq <- mjca(tra)
> summary(kq)

Principal inertias (eigenvalues):

 dim    value      %   cum%   scree plot               
 1      0.009556  34.2  34.2  ************             
 2      0.007169  25.7  59.9  *********                
 3      0.002372   8.5  68.3  ***                      
 4      0.000519   1.9  70.2  *                        
 5      0.000234   0.8  71.0                           
 6      6e-06000   0.0  71.1                           
        -------- -----                                 
 Total: 0.027944                                       


Columns:
                  name   mass  qlt  inr    k=1 cor ctr    k=2 cor ctr  
1  |  Gio_Co_Dinh:CD_N |   49  718   40 |   74 158  28 |  139 560 131 |
2  |  Gio_Co_Dinh:CD_Y |   63  718   31 |  -57 158  21 | -108 560 102 |
3  | Thuong_Xuyen:TX_N |   73  655   22 |  -51 573  20 |   19  82   4 |
4  | Thuong_Xuyen:TX_Y |   38  655   41 |   97 573  38 |  -37  82   7 |
5  |         Ban:Ban_N |   39  743   43 |  -78 196  25 |  130 547  91 |
6  |         Ban:Ban_Y |   73  743   23 |   41 196  13 |  -69 547  49 |
7  |          Loai:Den |   27  584   53 | -214 583 132 |    5   0   0 |
8  |           Loai:EG |   71  686   26 |   98 586  72 |  -40 100  16 |
9  |         Loai:Xanh |   12  687   57 |  -93  98  11 |  226 589  87 |
10 |    Pha_Che:kh_Pha |   72   59   22 |   16  56   2 |   -3   3   0 |
11 |  Pha_Che:th_Chanh |   12  132   55 |   80 113   8 |  -33  20   2 |
12 |   Pha_Che:th_Khac |    3  461   61 | -327 351  37 | -183 110  16 |
13 |    Pha_Che:th_Sua |   23  294   48 |  -45 120   5 |   54 173  10 |
14 |    Duong:kh_Duong |   57  642   35 | -128 613  99 |  -28  29   6 |
15 |    Duong:th_Duong |   54  642   37 |  137 613 106 |   30  29   7 |
16 |     Gioi_Tinh:Nam |   45  617   43 |   45  50   9 |  151 567 143 |
17 |      Gioi_Tinh:Nu |   66  617   29 |  -31  50   6 | -103 567  98 |
18 |        Tuoi:15-24 |   34  684   50 |  171 452 104 | -123 232  71 |
19 |        Tuoi:25-34 |   26  778   51 |  128 285  44 |  168 492 101 |
20 |        Tuoi:35-44 |   15  424   53 | -111 339  19 |  -56  85   6 |
21 |        Tuoi:45-59 |   23  521   54 | -190 495  85 |   43  26   6 |
22 |      Tuoi:tren_60 |   14  422   59 | -226 419  75 |  -20   3   1 |
23 |   Sang_Khoai:SK_N |   42  468   41 |  -76 253  25 |   70 215  29 |
24 |   Sang_Khoai:SK_Y |   69  468   25 |   46 253  15 |  -42 215  17 |

Để có nhận định trực quan hơn, ta dùng lệnh plot để vẽ biểu đồ. Khi dữ liệu dùng để vẽ (trong trường hợp này là kq) thuộc lớp mjca, lệnh plot có khá nhiều đối số, Để đơn giản, ta sử dụng giá trị mặc định của các đối số ấy, chỉ điều chỉnh màu để có thể dễ dàng phân biệt các biến với nhau như lệnh sau:

 plot(kq, collabels = "level", col = c("red", "limegreen", "brown", "azure4",
     "black", "blue", "purple", "sienna", "red", "#ff00ff"))

Và thu được Hình 2.

Hình 2 Biểu đồ phân tích tương liên đa biến

Hình 2 cho chúng ta một số thông tin về sự tương quan giữa các mức của các biến (trên mặt phẳng tạo bởi hai thành tố chính), ta có thể lấy một vài thí dụ:

• giới tính có liên quan đến giờ uống trà : nữ thường có giờ uống trà cố định, nam thì không,
• mức độ sảng khoái it nhiều có liên quan đến việc uống trà có bạn hay không,
• trên 60 tuổi thường sử dụng trà đen,
• uống trà EG thường thêm chanh,
• . . .